Page 148 - 22 Euler
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Reescribimos, pues, los términos de la derecha en la forma:
3 5 7 2 2 2
x
x
x
x
x
x
x --+---+ ... =K(x ) 1-- l-- 1-- ...
)(
(
)(
)
3! 5! 7! n 2 4n- 0 9n 2
Ahora dividimos por x :
Y como lim senx = 1, concluin10s que K = l. Así que queda:
x-o X
que es una serie igual a un producto infinito. Ningún problema,
según Euler. Efectuamos ordenadamente el producto y separa-
mos los términos (infinitos) en x2 del producto de la derecha.
Queda la igualdad:
x2 x2 x2 x2
3 ! - n 2 4n 2 9n 2 .. ·
Y dividiendo ambos lados por -x2/n se obtiene:
2
como queríamos averiguar.
3. LA FUNCIÓN ZETA Y LOS NÚMEROS PRIMOS
Euler es quien demostró en primer lugar la equivalencia entre ~( s)
como serie de potencias y ~( s) como producto infinito. Llamemos
pkal k-ésimo número primo; entonces se verifica:
148 ANEXO
