Page 151 - 22 Euler

aL ') dx f',. 2 (aL
x, dL I dx f x' (aL
d aL) dx
f - = -a+-a = - a-a-- +
X ¡ de ,-o X ¡ aj aj' X¡ aj dx ar
+ aL a ¡x,= fx'a(aL _!!_ aL) dx.
ar X ¡ X ¡ aj dx aj'

Como el término inicial es cero, el final también, y conclui-
mos que:
aL _!!_ aL = O.
aj dx ar

Y ya se tienen las ecuaciones de Euler-Lagrange, que, en el
mundo real, acostumbran a desembocar en ecuaciones diferencia-
les de segundo orden.

S. LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Euler dedujo su primera fórmula fundamental, de la que fue extra-
yendo otras, de simples series de Taylor.
Recordemos que las potencias de i se comportan así:

.¡ . 2 ·3 .
iº = 1, 'I, = i, i = -1, 'I, =-i,
4 ·5 . 6 7
i = 1, 'I, = i, i = -1, i = -i, etc.
Y recordemos también que los desarrollos en serie de poten-
cias, o desarrollos en series de Taylor de las potencias de base e,
y las funciones trigonométricas del seno y del coseno son:

x xº x 1 x 2 x 3 x 4
e =-+-+-+-+-+ ...
O! l! 2! 3! 4!
xº x 2 x 4 x 6
COSX= - --+---+ ...
O! 2! 4! 6!
x 1 x 3 x 5 x 7
sen x = - - - +- - -+ ...
l! 3! 5! 7!

ANEXO 151