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tualidad son las calculadoras electrónicas las que proporcionan
directamente los productos sin esfuerzo, en la época en la que
estas no existían, sustituir una multiplicación ardua, cuando el
producto original era muy grande, por una suma sencilla, era algo
de una relevancia extraordinaria.

2. EL PROBLEMA DE BASILEA

Sigan1os los vericuetos de su razonamiento, aunque sepamos por
adelantado que diversos pasos presentan algún problema y nece-
sitan ser pulidos. El propio Euler lo hizo a posteriori.
Si partimos de la conocida se1ie de Taylor:
x3 x5 x1
senx = x - - + - - - + ...
3! 5! 7!
sabemos que se anula si se anula x, es decir que sen x = O cuando
X = 0, ± Jt, ±2Jt, ±3Jt ...
De modo que, suponiendo que una serie se comportará como
un polinomio, ya que de hecho es un polinomio larguísimo, la apli-
cación del teorema fundamental del álgebra la convertirá en pro-
ducto de monomios del tipo x - a, donde a es una solución.
Procedamos:

x3 x5 x1
x --+- - - + ... = K(x)(x - n)(x+n)(x - 2n)(x + 2n) ...
3! 5! 7!
Ahora K es una constante numérica desconocida. Operando
a la derecha:

5 7
xª x x 2 2 2 2 2 2
x - -+ --- + ... =K(x)(x - n )(x -4n )(x -9n ) ...
3! 5! 7!
2 2
se observa que cada término de la forma x 2 - A n de la derecha
es cero. Ahora bien, eso solo sucede si y solo si:
x2
-
1 --2 2 = Ü.
Án

ANEXO 147