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El caso de las variaciones es parecido al anterior: importa el
orden en que se seleccionan los objetos, pero no se seleccionan
todos. Por eso para hallarlas no tenemos que llegar hasta 1 en el
producto final. Supongamos que en el estante solo vamos a colo-
car dos libros de los cinco que tenemos. Si realizamos un razona-
miento parecido al anterior, el número de selecciones posibles
será 5 x 4 = 20. En general, la cantidad de variaciones den elemen-
tos de los que tomamos solo r vendrá dada por la expresión:
v;; = n (n - l) · .. . • (n- r+ 1),
en total r factores comenzando en n y disminuyendo una unidad
cada vez.
Por último, en las combinaciones no nos importa el orden,
solo queremos saber cuántas forrnas distintas hay de elegir un
subconjunto de un conjunto de objetos dados. Por ejemplo, si te-
nemos un conjunto de monedas en las que hay una sola de cada
tipo, desde 1 céntimo de euro hasta una de 2 euros, si nos dan tres
monedas no nos importa el orden en que las recibamos; la cantidad
total que vamos a tener al final será la misma si nos dan primero
una moneda de euro, otra de 2 céntimos y otra de 50 céntimos, que
si primero nos dan la de 2 céntimos, después la de 50 céntimos y
por último la de euro.
Para hallar las combinaciones den objetos tomados de r en r
utilizamos la siguiente expresión:

C,. = v,;· = n( n - l) ... ( n - r + l)
" r ! r( r - l) ... 2 · 1 ·

La expresión siguiente es equivalente a un cociente entre fac-
toriales llamado número combinatorio:
n) n!
( r = r !(n - r)! ·

Así, si quisiéramos calcular cuántos grupos de tres libros po-
demos elegir entre quince posibles, tendríamos que calcular el
número combinatorio de 15 sobre 3, lo que nos daría:

EL DISEÑADOR DE CALCULADORAS 25