Page 10 - 18 Godel

Podemos entender una demostración como un razonamiento
que engloba, en una sola argumentación, una cantidad potencial-
mente infinita de casos particulares. Todos los problemas mate-
máticos «difíciles» involucran a una cantidad potencialmente
infinita de objetos, ya sean números, ecuaciones u otros. Por ese
motivo, «calcular la suma de todos los números entre uno y un
millón», aunque largo y trabajoso, no es «difícil» en el sentido que
le dan a esa palabra los matemático~, ya que el cálculo implica a
una cantidad bien definida de números y dicha operación puede
completarse en un lapso de tiempo que empieza y termina, sin
extenderse indefinidamente.
Resolver el problema que plantea la conjetura de Goldbach
(o, en realidad, el que plantea cualquier otra conjetura) consiste
en encontrar un contraejemplo que la refute, o una demostración
que la pruebe.
Ahora bien, si alguien propone un razonamiento que supues-
tamente demuestra una conjetura, ¿cómo podemos estar seguros
de que ese razonamiento es correcto? Si surge una controversia,
es decir, si alguien no está convencido de que el razonamiento es
válido, ¿cuáles son los criterios que permiten zanjar la duda acerca
de la validez de la demostración? Antes de contestar a estas pre-
guntas, veamos otro ejemplo histórico.
En 1909, el matemático francés Émile Borel definió el con-
cepto de «número normal». No es necesario para nuestros fines
entrar en todas las complejidades de la definición de Borel, basta
con decir que un número es normal cuando sus cifras decimales
se comportan estadísticamente como si hubieran sido generadas
al azar, y que esto sucede tanto si el número se escribe en base 10
(como es usual), o en binario, o en hexadecimal o en cualquier
otra base de numeración. Por ejemplo, está claro que O, 10101010 l. ..
no es un número normal (sus cifras decimales se comportan
demasiado prolijamente como para parecerse a cifras generadas
al azar). Por el contrario, se conjetura que n = 3,1415926 ... y
-J2 = 1,4142135 ... sí son números normales, aunque esta conjetura
no ha sido todavía demostrada, ni refutada.
El caso es que Borel, además de definir los números norma-
les, demostró que existe una infinidad de ellos, es decir, que el

10 INTRODUCCIÓN