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listado de números normales jamás se temüna. Sin embargo, su
demostración usaba unos métodos muy indirectos; podríamos
decir que más que demostrar que había una infinidad de números
nom1ales, demostró que esa infinitud de números no podía no
existir. Ahora bien, el punto central de esta historia es que ni
Borel, ni nadie, era capaz de aportar en 1909 ni siquiera un solo
ejemplo de número normal. Había algunos números, como los
mencionados más arriba, de los cuales se sospechaba que eran
normales, pero ninguno del que se supiera con certeza que lo era.
Es decir, Borel demostró que existían infinitos números de cierto
tipo, pero no podía mostrar un ejemplo de ellos. ¿Es aceptable
esta situación? ¿Podemos admitir que se hable de números de los
cuales no se puede mostrar ni siquiera un ejemplo? A principios
del siglo xx muchos matemáticos comenzaron a desconfiar de
estas demostraciones que involucraban familias ( como la de los
números normales) formadas por infinitos números. Desconfia-
ban de que fuera lícito trabajar con esas fanülias usando las mis-
mas reglas que se usan para familias finitas ( es decir, que no se
extienden indefinidamente). Esta desconfianza estaba avalada por
el hecho de que en 1902, el filósofo y matemático británico Ber-
trand Russell había encontrado algunas contradicciones lógicas
asociadas a razonamientos de ese tipo.
A principios del siglo xx, la cuestión de cómo determinar la
validez de un razonamiento matemático no estaba nada clara.
Había muchas controversias y discusiones al respecto que di-
vidían fuertemente la opinión de los matemáticos. Pero final-
mente, después de casi un cuarto de siglo de debates, en 1930
se llegó a un acuerdo acerca de cuáles eran los criterios claros
y concretos que debía cumplir una demostración para ser acep-
tada como correcta, criterios objetivamente establecidos más
allá de cualquier subjetividad. Esencialmente, el criterio consis-
tía en que los razonamientos pudieran ser verificados por un
ordenador, un juez imparcial que se limi_taba a calcular sin caer
en engaños lingüísticos. Desde luego, esa es la versión actual
del acuerdo al que llegaron los matemáticos, ellos lo expresa-
ban de modo diferente, ya que en 1930 aún no existían los orde-
nadores.

INTRODUCCIÓN 11