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«diofánticas», pueden ser siempre resueltas por un ordenador). El
octavo problema, por su parte, conocido como la «hipótesis de
Riemann», todavía no ha sido resuelto. Sin embargo, ni Hilbert, ni
ninguno de sus colegas en aquel año de 1900 dudaba de que, tarde
o temprano, se encontraría solución a todos los problemas. El
propio Hilbert resumió este pensamiento en la frase: «Debemos
saber, sabremos» ( « Wir müssen wissen, wir werden wissen» en
alemán), frase con la que se sintió tan identificado que inclusive la
hizo inscribir en su epitafio, tal vez como un mensaje a las genera-
ciones futuras, o tal vez como un desafío póstumo a Godel (Hil-
bert falleció en 1943, trece años después de que Godel anunciara
su teorema).
Ahora bien ¿qué es exactamente un problema matemático?
¿Qué queremos decir cuando afirmamos que los problemas de Hil-
bert eran difíciles? ¿Puede considerarse difícil el desafío: «calcule
la suma de todos los números entre uno y un millón»?
La mayoría de los problemas que estudia la ciencia matemá-
tica tienen la forma de una «conjetura». Una conjetura es una afir-
mación de la que se sospecha que es verdadera, pero de la que
todavía no se sabe con certeza si es verdadera o falsa. Un ejemplo
famoso es la llamada «cortjetura de Goldbach», conocida con ese
nombre porque fue formulada por primera vez por el matemático
prusiano Christian Goldbach, en 1742:

Cualquier número par mayor que 2 puede escribirse corno la suma
de dos números primos.

Los números primos son aquellos que solamente son divisi-
bles por 1 y por sí mismos; el número 1, por razones técnicas, no
se considera primo. Veamos, por ejemplo, que lo que afirma la
cortjetura se cumple para los números pares hasta el 12:

4=2+2
6=3+3
8=3+5
10 = 3+7
12 = 5 + 7

8 INTRODUCCIÓN