Page 17 - FISIKA MATEMATIKA TRASFORMASI KOORDINAT_Neat

2.2.2. Trasformasi Orthogonal

2.2.1. Trasformasi Linier
Telah diperlihatkan bahwa secara umum transformasi sumbu x′ dan y′ dalam

trasformasi linier tidak saling tegak lurus dan tidak menjamin bahwa sistem koordinat

yang baru merupakan sistem ortogonal. Untuk menghasilkan koordinat baru juga bersifat

ortogonal, maka transformasi linier yang dimaksud harus bersifat rotasional. Bila

demikian, persamaan (2.3) merupakan persamaan rotasi dan a, b, c, d dapat ditulis dalam

bentuk sudut rotasi , sehingga persamaan (2.3) menjadi :

′
= cos + sin ′ cos sin
= (2.11)

′
= − sin + cos ′ − sin cos
Kita akan meninjau kasus khusus dari transformasi linear yang disebut sebagai

transformasi orthogonal. Suatu ransformasi orthogonal adalah suatu transformasi linear

dari , ke ′, ′ sedemikian hingga memenuhi:

2 2 2 2
+ = ′ + ′
(2.12)
Atau, dalam Gambar 2.2, persamaan 2.1 menyatakan sebuah transformasi

orthogonal jika :

2
2
2
2
+ = X + Y (2.13)
Dari gambar terlihat bahwa syarat persamaan (2.12) dan (2.13) menyatakan bahwa
panjang vektor tidak berubah oleh suatu transformasi orthogonal. Dalam gambar 2.1,

vektor dirotasi (atau mungkin direfleksikan) dengan panjang dijaga tetap. Dalam gambar

2.2, sumbu dirotasi (atau direfleksikan) sedangkan vektornya tetap.

12