Page 118 - MAKРОЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (УЧЕБНИК)

кими объясняющими факторами. Несмотря на многолетнюю
историю, метод наименьших квадратов и сегодня остается цен-
тральным звеном в анализе данных, прогнозировании, тестиро-

вании гипотез, а также служит основой для многих более слож-
ных и обобщенных методов. Чтобы понять суть метода наимень-
ших квадратов, начнем с постановки базовой задачи линейной
регрессии. Предположим, у нас есть выборка из n наблюдений,
каждая из которых представляет пару (или набор) данных: зна-
чение зависимой переменной y_i и соответствующие значения
объясняющих переменных x_i1, x_i2, ..., x_iK для i-го наблюде-
ния, где i пробегает от 1 до n. Предположим, мы хотим оценить

модель вида: y_i = β_0 + β_1 x_i1 + β_2 x_i2 + ... + β_K x_iK + ε_i, где ε_i
– стохастическая ошибка, отражающая несовершенство модели
и наличие случайных факторов. Задача состоит в том, чтобы по
имеющимся данным оценить неизвестные параметры β_0, β_1,
β_2, ..., β_K Таким образом, чтобы модель максимально хорошо
описывала наблюдения .
62
Под «максимально хорошо» обычно понимают минимизацию
какой-то меры расхождения между предсказанными моделью
значениями и реальными наблюдениями. Метод наименьших
квадратов предлагает очень понятный и удобный критерий:
нужно выбрать такие параметры регрессии, чтобы сумма ква-
дратов отклонений фактических значений y_i от предсказан-
ных значений ŷ_i была минимальной. Предсказанные значения
определяются формулой ŷ_i = β_0 + β_1 x_i1 + ... + β_K x_iK. Ошиб-

ки модели, также называемые остатками (residuals), равны e_i =
y_i - ŷ_i. Методу наименьших квадратов соответствует решение
следующей оптимизационной задачи: минимизировать сумму
квадратов остатков S (β_0, β_1, ..., β_K) = Σ (y_i - β_0 - β_1 x_i1 - ...
- β_K x iK) ² по всем i. Почему квадраты? Использование квадра-
тов отклонений обусловлено несколькими причинами: во-пер-
вых, это математически удобный критерий, который приводит

62 Wooldridge, J. M. (2020). “Introductory Econometrics: A Modern Approach”. 7 th Edition. Cen-
gage Learning.

117