Page 119 - MAKРОЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (УЧЕБНИК)

к простой и хорошо изученной задаче оптимизации. Во-вторых,
квадраты штрафуют большие отклонения сильнее, чем малые,
и при этом обеспечивают непрерывность и гладкость критерия.

Результатом минимизации этой суммы квадратов является си-
стема нормальных уравнений, которая, при условии, что ма-
трица регрессоров имеет полный столбцовый ранг, допускает
однозначное решение в терминах матриц или, при небольшом
числе регрессоров, может быть решена аналитически. В матрич-
ной форме задачу можно записать следующим образом. Пусть Y
– вектор наблюдений размерности n×1, X – матрица регрессоров
размера n×(K+1), где первый столбец обычно заполнен едини-
цами для оценки свободного члена β_0, а последующие столбцы

соответствуют переменным x_i1, x_i2 и так далее. Тогда модель
можно записать как Y = Xβ + ε, где β – вектор параметров размер-
ности (K+1) ×1, ε – вектор ошибок размерности n×1. Критерий
наименьших квадратов заключается в минимизации S(β) = (Y -
Xβ)›(Y - Xβ), где штрих означает транспонирование. Дифферен-
цируя этот критерий по β и приравнивая производную к нулю,
мы получаем так называемые нормальные уравнения: X›Xβ =

X›Y. Если матрица X›X невырождена (то есть обратима), решение
дается формулой β̂ = (X›X)^{-1} X›Y. Вектор β̂ и есть оценка пара-
метров линейной регрессии по методу наименьших квадратов.
Она имеет ряд важных свойств. Одно из ключевых свойств – нес-
мещенность. Если ошибки ε_i имеют нулевое математическое
ожидание и некоррелированы с регрессорами, то математиче-
ское ожидание β̂ равно истинному β, то есть оценка несмещен-
ная . Другое важнейшее свойство – состоятельность: при увели-
63
чении числа наблюдений n, оценки β̂ сходятся по вероятности к

истинным значениям параметров. Кроме того, при выполнении
классических предположений гауссовской линейной регрессии,
которые включают нормальность ошибок, гомоскедастичность и
отсутствие автокорреляции остатков, оценщики МНК являются

63 Greene, W. H. (2022). “Econometric Analysis”. 8 th Edition. Pearson.This advanced textbook
covers theoretical foundations and practical applications of econometrics, suitable for in-
depth study and research purposes.

118