Page 20 - complejos

bloque 2
geometría

46. s Resuelve las siguientes ecuaciones y representa sus 52. s Representa gráficamente las siguientes ecuaciones
soluciones: y razona, a partir del gráfico, si las raíces son reales o
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a) x - 16 = 0 d) 1 = x 8 complejas, o de ambos tipos:
2
a) x + 6x + 10
4
b) x + 16 = 0 e) 3x = 243
4
b) 6x - 36x + 72
2
2
4
c) -x = 1 f) x + 2x + 1
4
c) 10 + 1 000x 2
47. s Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas, d) 9x - 2x - 121
2
expresando los resultados dentro de radicales:
e) x - 6x + 10 = 0
2
4
4
2
2
a) x + 6x + 10 = 0 c) x + 2x + 3 = 0
2
f) x + 16
2
4
4
b) x - 6x + 10 = 0 d) 9x - 2x = -121
2
53. d Resuelve las siguientes ecuaciones cuadradas y bi-
48. d Representa gráficamente los siguientes polinomios e cuadradas y convierte las soluciones del primer apartado
indica, a partir de ellos, si las raíces de los polinomios co- a forma polar:
rrespondientes son reales, complejas o de ambos tipos. 2 2
Razona en cada caso tus respuestas. a) 100 = 100 000x c) 2x + 3x - 1 = 0
4
2
a) P(x) = 1 + x 4 d) P(x) = x + 6x + 10 b) x + 625 = 0 d) 11x - 2x = -12
2
4
4
b) P(x) = x - 16 e) P(x) = x + 16 54. s Dos números complejos son, respectivamente,
4
2
c) P(x) = 9x - 2x - 121 f) P(x) = -1 + x 8 z 1 = 6 - 8i y z 2 = 4 + 12i. Calcula, aproximando los resul-
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tados con dos decimales: 1
49. d Tenemos dos números complejos en forma polar a) Transfórmalos a forma polar y calcula el producto
ipx
z 1 = 3e y z 2 = 15e -ip / 3 . 2 z 1 · z 2 .
a) Calcula el producto. b) Realiza la misma operación en forma binómica y com-
prueba que el resultado final es el mismo en ambos
b) Halla el valor de todas las x que satisfacen la igualdad casos.
z 1 · z 2 = 45.
c) Utiliza la forma polar para calcular z 1 / z 2 .
c) Halla el valor de todas las x que satisfacen nz 1 · z 2 =
= 22,5 - 38,97i. Comprueba todos los resultados utilizando la calculadora
que encontrarás en:
NOTA: Puedes continuar el procedimiento en forma binómi-
ca si en algún momento lo crees conveniente. http://www.wolframalpha.com/
Sol.: a) z = 45e (3x - 1) · ip / 3 ; b) x = 1 / 3 + 6k / 3, k entero; Sol.: a) z = 126,5 18,44° ; b) z = 120 + 40i; c) z = 0,79 235,31°
c) x = 0 + 2k, k entero 55. d Existen cuatro números complejos que cumplen las
mismas condiciones: 2
SÍNTESIS — Los elevamos a la cuarta potencia y los multiplicamos
por 3.
50. a Realiza las siguientes operaciones en forma binómi- — Al resultado le sumamos su cuadrado multiplicado por 6.
ca. Representa gráficamente los resultados obtenidos y — El resultado es -6.
halla, en cada caso, el complejo conjugado y el opuesto a
partir de dicha representación. ¿Cuáles son estos cuatro números?
a) (8 + 5i ) + (5 - 4i ) c) (2i ) · (3 + 4i ) Sol.: ± −1+ i , ± −1− i
b) (6 + 7i ) - (-5 + 2i ) d) (2 + 2i ) / 4i 56. d Los cuaterniones son una extensión de los números
complejos en la que se añaden tres unidades imaginarias
Sol.: a) z = 13 + i; z = 13 - i; -z = -13 - i; i, j y k, de manera que se cumple:
b) z = 11 + 5i; z = 11 - 5i; - z = -11 - 5i;
c) z = -8 + 6i; z = -8 - 6i; -z = 8 - 6i; i = j = k = -1
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2
d) z = 0,5 - 0,5i; z = 0,5 + 0,5i; -z = -0,5 + 0,5i
La forma binómica de los complejos se extiende a los cua-
51. s Escribe los siguientes números complejos en su terniones de forma natural, es decir, un cuaternión se puede
forma binómica y calcula su inverso a partir de ella: expresar como q = a + bi + cj + dk.
e)
a) 5 27° 2 30° a) ¿Cuánto valdrán los productos ijk, ij, ik, jk?
b) 8 5p / 2 f) 5 p / 3 b) La suma y el producto de cuaterniones también se
g) extienden de forma natural, es decir, las operaciones
c) 3 65° 1 270°
se hacen componente a componente. ¿Cuál será el
d) 11 -p / 4 h) 4 2p resultado de la suma de dos cuaterniones q 1 y q 2 ?
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