Page 9 - E-MODUL SUBGRUP STRUKTUR ALJABAR (SUBGRUP DAN GRUP SIKLIK)

Teorema A-1 Suatu subset H yang tidak kosong dari grup ( ,∗) merupakan subgrup dari

G jika dan hanya jika:
1. ∀ ∈ maka ∗ ∈ ( Aksioma pertama dari defenisi grup)

2. ∀ ∈ maka −1 ∈ (Aksioma keempat dari defenisi grup)

Bukti teorema di atas dapat diperjelas sebagai berikut:
≠ ∅ ⊆ G

Akan ditunjukkan:
a. Jika H subgrup dari G maka dipenuhi 1 dan 2.

b. Jika dipenuhi i dan ii maka H subgrup dari G. berdasarkan hal di atas maka,

Bukti a:
Karena H merupakan subgrup dari G maka menurut defenisi subgrup H memenuhi

keempat aksioma grup. Dengan demikian maka H memenuhi sifat i dan ii.
Bukti b:

Untuk menunjukkan bahwa H subgrup dari G tinggal dibuktikan aksioma kedua dan
ketiga

Aksioma kedua:

G merupakan grup berarti setiap unsur di G memenuhi ifat asossiatif, sedangkan ⊆ ,
maka setiap unsur di H juga unsur di G, sehingga setiap unsur di H juga unsur di G,

sehingga setiap unsur di H juga memenuhi ssifat asosiatif.

Aksioma ketiga:
Ambil sembarang ∈ , −1 ∈ , karena sifat i dipenuhi pada H maka ∗ −1 ∈ atau

∈ Terbukti
Dengan demikian keempat aksioma grup dipenuhi dan ⊆ G maka H merupakan

subgrup dari G.

Contoh 3:

(2, ) = {[ ] | , , , ∈ , − ≠ 0}

1 0
Dengan operasi perkalian matriks, G membentuk grup dengan elemen identitasnya [ ]
0 1
1 3
(2, ) ≠ ∅ karena = [ ] ∈ (2, )
1 4
Ambil sembarang , ∈ (2, )
Akan ditunjukkan ∈ (2, )

E-Modul Subgrup dan Grup Siklik Page 5