Page 10 - E-MODUL SUBGRUP STRUKTUR ALJABAR (SUBGRUP DAN GRUP SIKLIK)
P. 10

                            
                     Andaikan:       = [     ]   dan       = [    ]   dengan         −     ;      −    = 1;   dan
                                                                   
                       ,   ,   ,   ,   , ,   ,     ∈   
                                 +            +     
                          = [                 ]
                                 +            +     
                     Entri-entri dari XY merupakan bilangan bulat, bagaimana dengan det (XY), apakah det

                          = 1.

                     Selanjutnya akan dibuktikan ∀   ∈    maka    −1  ∈     (2,   )
                     Ambil sembarang    ∈     (2,   ),

                                       
                     Andaikan = [      ] dengan      −      = 1;   ,   ,   ,   , ∈   
                                       

                     Maka    −1  = [      −   ]
                                   −       
                     det(X) = ad – bc
                     det(X) = 1s

                     Jadi  terbukti     −1  ∈     (2,   ), menurut  teorema  1  TERBUKTI      (2,   )  subgrup  dari

                         (2,   )


                      Teorema A-2 :      Misalkan  (  ,∗)grup  dan  H  ⊆ G. Himpunan  H  merupakan

                                         subgrup  dari  G  jika  dan  hanya  jika      ≠ Ø  dan  untuk  setiap

                                           , ℎ Є    berlaku € H berlaku    ∗ ℎ −1   ∈    .


                     Bukti.

                     Teorema  2  berbentuk  biimplikasi  atau  jika  hanya  jika.  Diketahui  (G,  *)  grup
                     dengan elemen identitas e dan H C G. Misalkan

                       : =     merupakan subgrup dari   

                       : =      ≠  Ø dan untuk setiap   , ℎ Є    berlaku    ∗ ℎ −1   ∈    .
                     (    ⇒    ) Asumsikan p benar, artinya H merupakan subgrup dari   . Dibuktikan bahwa   

                     juga benar, artinya    ≠ Ø dan untuk setiap   , ℎ  ∈    berlaku    ∗ ℎ −1  ∈  Н.

                     Karena    subgrup dari    maka (  ,∗) merupakan grup, artinya     ≠ Ø dan   
                     bersifat tertutup terhadap operasi ∗ dan setiap elemen    memiliki balikan di H. Ambil

                     sebarang    , ℎ Є    maka ℎ −1  ∈   , diperoleh    ∗ ℎ −1  ∈    .






                 E-Modul Subgrup dan Grup Siklik                                                      Page 6
   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15