Page 10 - E-MODUL SUBGRUP STRUKTUR ALJABAR (SUBGRUP DAN GRUP SIKLIK)
P. 10
Andaikan: = [ ] dan = [ ] dengan − ; − = 1; dan
, , , , , , , ∈
+ +
= [ ]
+ +
Entri-entri dari XY merupakan bilangan bulat, bagaimana dengan det (XY), apakah det
= 1.
Selanjutnya akan dibuktikan ∀ ∈ maka −1 ∈ (2, )
Ambil sembarang ∈ (2, ),
Andaikan = [ ] dengan − = 1; , , , , ∈
Maka −1 = [ − ]
−
det(X) = ad – bc
det(X) = 1s
Jadi terbukti −1 ∈ (2, ), menurut teorema 1 TERBUKTI (2, ) subgrup dari
(2, )
Teorema A-2 : Misalkan ( ,∗)grup dan H ⊆ G. Himpunan H merupakan
subgrup dari G jika dan hanya jika ≠ Ø dan untuk setiap
, ℎ Є berlaku € H berlaku ∗ ℎ −1 ∈ .
Bukti.
Teorema 2 berbentuk biimplikasi atau jika hanya jika. Diketahui (G, *) grup
dengan elemen identitas e dan H C G. Misalkan
: = merupakan subgrup dari
: = ≠ Ø dan untuk setiap , ℎ Є berlaku ∗ ℎ −1 ∈ .
( ⇒ ) Asumsikan p benar, artinya H merupakan subgrup dari . Dibuktikan bahwa
juga benar, artinya ≠ Ø dan untuk setiap , ℎ ∈ berlaku ∗ ℎ −1 ∈ Н.
Karena subgrup dari maka ( ,∗) merupakan grup, artinya ≠ Ø dan
bersifat tertutup terhadap operasi ∗ dan setiap elemen memiliki balikan di H. Ambil
sebarang , ℎ Є maka ℎ −1 ∈ , diperoleh ∗ ℎ −1 ∈ .
E-Modul Subgrup dan Grup Siklik Page 6