Page 10 - E-MODUL SUBGRUP STRUKTUR ALJABAR (SUBGRUP DAN GRUP SIKLIK)

Andaikan: = [ ] dan = [ ] dengan − ; − = 1; dan

, , , , , , , ∈
+ +
= [ ]
+ +
Entri-entri dari XY merupakan bilangan bulat, bagaimana dengan det (XY), apakah det

= 1.

Selanjutnya akan dibuktikan ∀ ∈ maka −1 ∈ (2, )
Ambil sembarang ∈ (2, ),

Andaikan = [ ] dengan − = 1; , , , , ∈

Maka −1 = [ − ]
−
det(X) = ad – bc
det(X) = 1s

Jadi terbukti −1 ∈ (2, ), menurut teorema 1 TERBUKTI (2, ) subgrup dari

(2, )

Teorema A-2 : Misalkan ( ,∗)grup dan H ⊆ G. Himpunan H merupakan

subgrup dari G jika dan hanya jika ≠ Ø dan untuk setiap

, ℎ Є berlaku € H berlaku ∗ ℎ −1 ∈ .

Bukti.

Teorema 2 berbentuk biimplikasi atau jika hanya jika. Diketahui (G, *) grup
dengan elemen identitas e dan H C G. Misalkan

: = merupakan subgrup dari

: = ≠ Ø dan untuk setiap , ℎ Є berlaku ∗ ℎ −1 ∈ .
( ⇒ ) Asumsikan p benar, artinya H merupakan subgrup dari . Dibuktikan bahwa

juga benar, artinya ≠ Ø dan untuk setiap , ℎ ∈ berlaku ∗ ℎ −1 ∈ Н.

Karena subgrup dari maka ( ,∗) merupakan grup, artinya ≠ Ø dan
bersifat tertutup terhadap operasi ∗ dan setiap elemen memiliki balikan di H. Ambil

sebarang , ℎ Є maka ℎ −1 ∈ , diperoleh ∗ ℎ −1 ∈ .

E-Modul Subgrup dan Grup Siklik Page 6