Page 11 - E-MODUL SUBGRUP STRUKTUR ALJABAR (SUBGRUP DAN GRUP SIKLIK)

Definisi A-2 Misalkan H dan K masing-masing himpunan bagian dari grup (G, *),
maka

−1
1. −1 = {ℎ | ℎ ∈ }
2. = {ℎ ∗ | ℎ ∈ ∈ }

Teorema A-3: Misalkan dan masing-masing merupakan subgrup dari ( ,∗).

Himpunan merupakan subgrup dari G jika dan hanya jika =

.

Bukti:
Diketahui dan masing-masing merupakan subgrup dari ( ,∗). Kita misalkan

pernyataan dan sebagai berikut.

: = .

: = = .
( ⇒ ) Asumsikan = akan dibuktikan merupakan subgrup dari .
Kita akan menggunakan Teorema 3 dengan demikian harus dibuktikan (pertama),

≠ ∅ dan ⊆ G dan (kedua), untuk setiap , ∈ berlaku −1 ∈ .

Bagian pertama, ambil sebarang ∈ maka = ℎ ∗ untuk suatu ℎ ∈ dan
1
1
1
∈ . Diketahui H dan K subgrup dari G, artinya h1, k1 Є G. Diperoleh h1 * k1 − G
1
yang berakibat = ℎ ∗ ∈ . Artinya ⊆ . Jelas HK memuat = е ∗ е .

1
ℎ
1
Artinya
≠ 0.
Bagian kedua, ambil sebarang , ∈ , maka = ℎ ∗ , = ℎ ∗ untuk suatu
2
1
2
1
ℎ , ℎ ∈ dan ∈ . Perhatikan bahwa
2
1
1
2
−1
∗ −1 = (ℎ ∗ ) ∗ (ℎ ∗ ) kesamaan elemen
1
1
2
2
∗ −1 = (ℎ ∗ ) ∗ (ℎ ∗ ) =
1
3
3
1
∗ −1 = (ℎ ∗ ( ∗ ℎ ) ∗ ) Asosiatif
3
1
1
3
∗ −1 = (ℎ ∗ (ℎ ∗ ) ∗ ) =
4
3
1
4
∗ −1 = (ℎ ∗ ℎ ) ∗ ( ∗ ) Asosiatif
4
1
3
4
∗ −1 ∈
Berdasarkan bagian pertama dan bagian kedua maka merupakan subgrup dari G.

E-Modul Subgrup dan Grup Siklik Page 7