Page 33 - KIV - Aritmetica 3

Aritmética 3° Secundaria

Máximo común divisor (M.C.D.)
El máximo común divisor de dos o más números enteros positivos es aquel número entero positivo que
cumple las siguientes condiciones:
 Está contenido en todos ellos (divisor de ellos).
 Es el mayor posible.

Ejemplo: Observación
 Hallar los divisores de 12 y 30 Observa que los divisores
Div. de 12 = {1; 2; 3; 4; 6; 12} comunes a 12 y 30 son los
Div. de 30 = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} divisores de su M.C.D.
Se observa que los divisores comunes de 12 y 30 son: 1; 2; 3 y 6.
El mayor de dichos divisores es 6 ⇒ MCD (12; 30) = 6

Procedimientos de cálculo para el M.C.D.

Por descomposición en factores primos (descomposición canónica)
Ejemplo:
 Calcular el MCD de 360 y 300
En primer lugar descomponemos canónicamente cada número:
360 = 2 × 3 × 5
3
2
2
300 = 2 × 3 × 5
2
Luego el MCD es el producto de los factores primos comunes elevados a su menor exponente.
2
 MCD (360; 300) = 2 × 3 × 5 = 60

Por descomposición simultánea
Ejemplo:
 Calcular el MCD de los números: 144; 180 y 240

144 180 240 2
72 90 120 2  2  2 3
36 45 60 3
12 15 20

Son PESI entonces se
det iene la operación

 M.C.D. (144; 180; 240) = 2 × 3 = 12
2

Mínimo común múltiplo (m.c.m.)
El m.c.m. de varios números enteros positivos es aquel número entero positivo que cumple dos condiciones:
 Contiene a todos ellos exactamente (múltiplo de ellos).
 Es el menor posible.

Ejemplo:
 Hallar los múltiplos positivos de 4 y 6
Mult. de 4 = {4; 8; 12; 16; 20; 24; ...}
Mult. de 6 = {6; 12; 18; 24; 30;...} Observación
Los múltiplos comunes son: 12; 24; 36; ... etc. Observa que los múltiplos
El menor de los múltiplos comunes es: 12 comunes son múltiplos de su
 m.c.m. (4; 6) = 12 m.c.m.

Procedimientos de cálculo para el m.c.m.

Por descomposición en factores primos (descomposición canónica).
Ejemplo:
 Calcular el m.c.m. de los números: 80; 180 y 150
En primer lugar descomponemos canónicamente cada número:
4
80 = 2 × 5
2
2
180 = 2 × 3 × 5
150 = 2 × 3 × 5
2
Luego el m.c.m. es el producto de factores primos comunes y no comunes elevados a su mayorexponente.
2
4
2
m.c.m. (80; 180; 150) = 2 . 3 . 5 = 3 600

4 Bimestre -32-
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