Page 11 - HS 4 Binomium van Newton
P. 11
Combinatieleer, kansrekening en verklarende statistiek
Hij werkt als het gaat om een stelling die moet gelden voor alle elementen van een aftelbare
verzameling, bijvoorbeeld voor alle natuurlijke getallen. Je bewijst dat de stelling voor het eerste
element geldt en vervolgens (de inductiestap) als hij voor een element geldt, dat hij dan ook voor zijn
opvolger geldt.
Te bewijzen: ∀ ∈ : ∑ ( ) −
0
=0
We bewijzen het binomium van Newton volgens de methode van volledige inductie.
Bewijs:
Stap 1: De formule is waar voor n = 1
( + ) = ( ) + ( ) = +
Stap 2: De inductiestap
Stel dat de formule waar is voor n
∀ ∈ : ∑ ( ) −
0
=0
Wij moeten dan aantonen dat de formule ook waar is voor (n + 1)
( + ) + = ( + ) + ∙ ( + )
− − −
( + ) + = [( ) + ( ) − + ( ) + ⋯ ( ) + ⋯ ( )
−
+ ( ) ] ∙ ( + )
… = ( ) ∙ + ( ) − ∙ + ( ) − − ) − ∙
∙ + ⋯ ( )
∙ + ⋯ (
−
∙ + ⋯ ( )
∙
+ ( ) ∙ + ( ) ∙ + ( ) − ∙ + ( ) − −
+ ⋯ ( ) − ∙ + ( ) ∙
−
−
+ ⋯ ( )
… = ( ) + + ( ) + ( ) − − + ) + ( )
+ ⋯ (
−
+ ( ) + ( ) − − − + + ⋯ ( ) − +
+ ( )
+ ⋯ ( )
−
+ ( ) +
+
Er geldt dat ( ) + ( ) = ( )
+ + t
e
+ + + − + − +
… = ( ) + + ( ) + ( ) + ⋯ ( ) + ⋯ ( ) n
.
+ + o
+ ( ) l
+ e
h
t
a
+ 1
… = ∑ +1 ( ) +1− m .
=0
w w
w
Uitgewerkt GeoGebra applet via de link https://www.geogebra.org/m/ypp5rnga
© 2024 Ivan De Winne ivan@mathelo.net 11
