Page 7 - HS 4 Binomium van Newton

Combinatieleer, kansrekening en verklarende statistiek

4.4 Binomium van Newton

4.4.1 Inleiding

Het binomium van Newton is een werkwijze om ( + ) met ∈ uit te werken.
0
Wij nemen een aantal gekende gevallen.
1
( + ) = +

2
( + ) = ( + ) ∙ ( + ) = ∙ + ∙ + ∙ + ∙
In dit geval bij (a + b)(a + b) vinden we 4 mogelijkheden om de rode en groene letters te ordenen.
2
4 = 2
Na uitwerking en vereenvoudiging
2
2
2
( + ) = + 2 +

3
( + ) = ( + ) ∙ ( + ) ∙ ( + )
= ∙ ∙ + ∙ ∙ + ∙ ∙ + ∙ ∙ + ∙ ∙ + ∙ ∙ + ∙ ∙ + ∙ ∙
In dit geval bij (a + b)(a + b)(a + b) vinden wij 8 mogelijkheden om de rode, groene en blauwe letters te
ordenen.
3
8 = 2
Na uitwerking en vereenvoudiging
3
3
3
2
2
( + ) = + 3 + 3 +

Wij kunnen deze werkwijze verder zetten voor hoger machten dan 3.
Het algebraïsch rekenwerk wordt dan wel erg omslachtig.

6
( + ) = ( + ) ∙ ( + ) ∙ ( + ) ∙ ( + ) ∙ ( + ) ∙ ( + ) = ⋯ (1)
In dit geval zouden er 64 mogelijkheden zijn om de 6 verschillend gekleurde letters te ordenen.
6
8 = 2
Uit elke factor ( + ) wordt telkens één term gekozen.
t
e
Na uitwerking en vereenvoudiging n
.
4 2
3 3
2 4
6
5
6
6
5
( + ) = 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 o
l
Wij proberen nu een handiger werkwijze te vinden om dergelijke machten van een tweeterm uit te e
h
werken. t
a
De driehoek van Pascal zal hierbij een erg efficiënt hulpmiddel zijn.
m
Waar zijn de coëfficiënten in deze uitwerking te vinden in de driehoek van Pascal? .
w
w
3 3
5
4 2
6
6
5
6
2 4
( + ) = 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 w
© 2024 Ivan De Winne ivan@mathelo.net 7