Page 9 - HS 4 Binomium van Newton
P. 9
Combinatieleer, kansrekening en verklarende statistiek
4.5 Veralgemening van het binomium van Newton
De uitdrukking
4 2
3 3
5
6
6
6
5
2 4
( + ) = 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1
Kunnen we met de binomiaalcoëfficiënten als volgt noteren:
6 6 6 6 6 6 6
4 2
3 3
2 4
6
6
5
5
6
( + ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( )
0 1 2 3 4 5 6
Veralgemening van deze uitdrukking geeft de binomiaalformule of het binomium van Newton.
∀ ∈ :
0
+ ⋯ ( )
( + ) = ( ) + ( ) − + ( ) − − ) − + ( )
+ ⋯ (
−
De coëfficiënten ( ), ( ) , ( ) , … ( )… ( ) , ( ) noemt men de binomiaalcoëfficiënten.
−
Deze binomiaalcoëfficiënten of binomiaalgetallen kan men aflezen in de driehoek van Pascal.
Binomium van Newton genoteerd met het sommatieteken
!
∀ ∈ : ∑ ( ) − ( − )! !
met ( ) =
=0
0
De Griekse hoofdletter ∑ staat voor som.
Opmerkingen
• De uitwerking van ( + ) bevat ( + ) termen.
t
• In de algemene binomiaalformule staan de afdalende machten van de eerste term a en de e
opklimmende machten van de tweede term b. n
.
• In de algemene binomiaalformule is de som van de exponenten in elke term gelijk aan n. o
l
e
h
t
a
m
Uitgewerkt GeoGebra applet via de link https://www.geogebra.org/m/r2ejnde2
.
w
w
w
© 2024 Ivan De Winne ivan@mathelo.net 9
