Page 26 - Решение задачи №14

Задача 1.24.

Основание шестиугольной пирамиды SABCDEF – правильный шестиугольник ABCDEF . Точка
M – середина ребра BC .

А) Постройте прямую пересечения плоскостей FSM и ASB .

Б) В каком отношении плоскость FSM делит отрезок, соединяющий точку A с серединой ребра
SD ?

Решение:

а) Прямая AB   ASB AB  ;  ABC , а прямая

FM  FSM FM  ;  ABC . AB FM  X .
1


ПлоскостиFSM и  ABC имеют общую точку S .
Следовательно, плоскости пересекаются по прямой:
FSM   ABC  1
 SX .

б) Дополнительное построение: Проведем отрезок AK , где точка K – середина ребра SD .

В плоскости основания AD FM  P.

Построим отрезок SP . Отрезки SP и AK лежат в одной плоскости.
SP AK  L. Плоскость FSM делит отрезок AK в отношении
AL : LK .

В плоскости основания пирамиды построим отрезки MT , MF , BF .

Прямоугольные MOP   FNP по катету и острому углу. Значит,

1 1 1 1 1
OP  ON  TF . Следовательно, OP   AD  AD .
2 2 4 2 8
1 1 3 5
AP  AN  NP    . PD  .
4 8 8 8

Рассмотрим треугольник DSP и секущую AK . Применяя
SK DA PL
теорему Менелая, запишем:    1. Откуда
KD AP LS
PL  3
LS 8 . Применим теорему Менелая для другого

треугольника , а именно KADи секущей SP , получим:

AP DS KL 3 2 KL KL 5
   1;   1;  .
PD SK LA 5 1 LA LA 6

Ответ: Плоскость FSM делит отрезок AK в отношении 5:6 ,
считая от вершины K .

25