Page 25 - Решение задачи №14

Задача 1.23

Основание шестиугольной пирамиды SABCDEF – правильный шестиугольник. Точки M и N –
середины ребер SA и SC соответственно.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M , N и B .

б) В каком отношении плоскость сечения делит отрезок, соединяющий вершину S с центром
основания пирамиды?

Решение:


а) В плоскости ASC построим отрезок MN . Отрезок MN AC . Точка R MN и R - середина
отрезка MN . Все точки прямой MN принадлежат плоскости сечения по аксиоме стереометрии 1.
В плоскости BSE построим прямую BR , все точки которой принадлежат плоскости сечения.
BR SE  K .Точка K принадлежит плоскости сечения.


Построим отрезок DF . Заметим, что MN DF . Следовательно, MN DSF .

DSF  BMN 
 TL . По теореме о линии пересечения плоскостей TL MN . Шестиугольник
BMTKLN – искомое сечение.

б) Пусть отрезки AC BE  H . Точка H - середина отрезка AC . По условию задачи

шестиугольник – правильный. Рассмотрим треугольник ASC . В этом треугольнике отрезок MN -
средняя линия. Следовательно, точка R - середина отрезка SH . Восставим перпендикуляр RO
1
из точки R к плоскости основания. Отрезки RO 1 SQ . По теореме Фалеса точка O - середина
1
отрезка HQ . Обозначим длину отрезка O Q  , тогда HQ  BH  2x . Рассмотрим треугольник
x
1
SW QB HR
SQH и секущую BW . По теореме Менелая    1. Подставим длины отрезков в
WQ BH RS
SW 1
формулу, получим  .
WQ 2

Ответ: Плоскость сечения делит отрезок SQ в отношении 1: 2, считая от вершины S .

24