Page 13 - E-MODUL INDUKSI MATEMATIKA 1

Contoh 2

Tunjukkan dengan induksi matematis bahwa

n
2
1 + 2 + 2 + ⋯ + 2 = 2 n+1 − 1

untuk sebarang bilangan bulat nonnegatif n.

Jawab:

Misalkan P(n) adalah pernyataan bahwa

2
n
1 + 2 + 2 + ⋯ + 2 = 2 n+1 − 1
untuk sebarang bilangan bulat nonnegatif .

Langkah Dasar

0
(0) benar karena di ruas kiri (0) = 2 = 1 dan di ruas kanan 2 0+1 − 1 = 1. Langkah
dasar selesai.

Langkah Induktif

Untuk hipotesis induktif, kita asumsikan bahwa P(k) benar untuk sebarang
bilangan bulat nonnegatif k, yaitu

k
2
1 + 2 + 2 + ⋯ + 2 = 2 k+1 − 1
Menggunakan asumsi tersebut, selanjutnya ( + 1) juga harus ditunjukkan benar.
Kita menunjukkan bahwa ( + 1):

k
2
1 + 2 + 2 + ⋯ + 2 + 2 k+1 = 2 (k+1)+1 – 1
= 2 k+2 – 1

10