Page 17 - E-MODUL INDUKSI MATEMATIKA 1

Contoh 1

Gunakan induksi matematis untuk membuktikan bahwa

rumus jumlah berhingga dari deret aritmetika dengan suku

pertama a dan beda b adalah

a+(a+b)+(a+2b)+…+(a+(n-1)b)= n(2a+(n-1)b)

dengan n adalah bilangan asli

Jawab:

Misalkan a+(a+b)+(a+2b)+…+(a+(n-1)b)= n(2a+(n-1)b)

Langkah Dasar

Untuk n = 1, P(1) benar, karena

P(1) = .1(2a+(1-1)b) = (2a) = a

Langkah dasar selesai.

Langkah Induktif

Untuk n = k dengan adalah sebarang bilangan asli, P(k) adalah pernyataan

P(k) = a+(a+b)+(a+2b)+…+(a+(k-1)b)= k(2a+(k-1)b)

Asumsikan pernyataan P(k) benar. Akan ditunjukkan bahwa P(k + 1) juga benar

P(k+1) = a+(a+b)+(a+2b)+…+(a+(k-1)b)+(a+((k+1)-1)b)

= (k+1)(2a+((k+1)-1)b) = (k+1)(2a+kb)

14