Page 15 - Buku Kalkulus Variasi

= ( ) (35)
̈
Dalam kasus khusus ini, fungsi ( ) mewakili gaya konservatif, sedangkan

( ) dinamakan sebagai fungsi potensial.

Kembali pada persamaan umum (32), untuk sistem yang melibatkan gaya

yang bersifat konservatif, hukum kedua Newton dapat dituliskan sebagai:

− ( ) = ( , , ) (36)

̇
̇

Dengan = − ( ) merupakan gaya umum non-konsevatif yang
̇
terkait.

Misalkan jumlah koordinat umum yang terdefinisi dalam Lagrangian terkait

lebih dari satu sehingga ≡ ( , , … , , , ̇ , … , ̇ , ), maka berlaku untuk
̇
1
2

2
1
masing-masing koordinat , :
̇

− ( ) = 0 (37)
̇

Sebagai contoh pertama, tinjau sistem sederhana yang terdiri atas sebuah
1
2
partikel bermassa m dengan energi kinetik = , yang berada pada pengaruh
̇
2
1
2
gaya pegas dengan fungsi potensial diberikan oleh = . Jelas bahwa
2
Lagrangian terkait diberikan oleh:

1
1
= − (38)
2
2
̇
2 2
Substitusikan persamaan (38) ke dalam persamaan Euler-Lagrange (31)
dengan koordinat umum = dan = ̇
̇

− ( ) = 0
̇

1 2 1 2 1 2 1 2
̇
̇
( − ) ( − )
2 2 − ( 2 2 ) = 0
̇