Page 11 - Buku Kalkulus Variasi

dengan turunan masingmasing diberikan oleh ( ) dan ( ). Kemudian
̇
̇
definisikan sebuah fungsional terkait sebagai berikut:

= ∫ [ , , , , ] (18)
2
̇
̇
1
Misalkan transformasi untuk lintasan diberikan oleh:
( ) → ( ) + ( ) (19a)

( ) → ( ) + ̇ ( ) (19b)
̇
̇

Di lain pihak, untuk lintasan :

( ) → ( ) + ( ) (20a)

( ) → ( ) + ̇ ( ) (20b)
̇
̇

dengan { } merupakan parameter variasi untuk lintasan { } sedangkan

{ } adalah stasioner terkaitnya. Selanjutnya kita lakukan kembali variasi

terhadap fungsional tersebut sehingga memenuhi kondisi:

= ( )| + ( )| (21)

=0
=0
Dimana = , ̇ = dan = , ̇ = ̇ . Kembali dengan
̇

menggunakan integral perbagian diperoleh:
2
̇
∫ ( η ̇ ) = η ̇ Ω | 2 − ∫ 2 ( ) η
Ω
Ω
1 Ω ̇ Ω ̇ 1 1 Ω ̇
2
̇
= − ∫ ( ) η (22)
Ω
1 Ω ̇
Dengan Ω = atau . Dengan demikian diperoleh:

2
= ∫ {[ − ( )] + [ + ( )] } = 0 (23)

1 ̇ z ̇
Dan jelas bahwa:

− ( ) = 0 (24a)
̇