Page 14 - Buku Kalkulus Variasi
P. 14
Dimana ≡ ( ) dan ≡ ( ) merupakan koordinat umum. Selajutnya
̇
̇
dapat pula dibangun sebuah fungsional yang terkait dengan fungsi Lagrange:
2
= ∫ (29)
1
yang dinamakan sebagai fungsional Aksi. Berdasarkan fungsional Aksi
tersebut, prinsip Hamilton mengatakan bahwa lintasan yang ditempuh oleh
partikel tersebut dari kedudukannya pada sampai dengan memiliki
1
2
fungsional Aksi yang stasioner atau dengan kata lain
= ∫ = 0 (30)
2
1
yang mengimplikasikan bahwa Lagrangian memenuhi persamaan:
− ( ) = (31)
̇
yang selanjutnya disebut sebagai persamaan Euler-Lagrange. Dengan
mensubstitusikan persamaan (29) diperoleh:
− ( ) = − ( ) (32)
̇ ̇
Untuk melihat hubungan antara persamaan (33) dengan hukum kedua
1 2
Newton, kita tinjau kasus khusus dimana ≡ ( ) = sedangkan = ≡
̇
̇
2
( ). Jelaskan bahwa untuk kasus tersebut persamaan (32) tereduksi menjadi:
̈
= − (33)
Dengan menulis:
( ) = − (34)
Persamaan (33) segera terlihat persamaan diferensial untuk hukum kedua
Newton:
