Page 16 - PENGDEFINISIAN INTEGRAL (Magang Enggar MPMAT)

Teorema. Misalkan ∶ [ , ] → ℝ, ∈ ( , ) fungsi terbatas. Maka terintegral pada [ , ]
jika dan hanya jika ia terintegral pada [ , ] dan [ , ] dengan

∫ = ∫ + ∫

BUKTI. (←): Diberikan > 0 sebarang. Misalkan ∶= | [ , ] yaitu restriksi fungsi pada
1
[ , ] dan juga ∶= | [ , ] . Mengingat dan terintegral maka terdapat partisi pada [ , ]
1
2
1
2
dan pada [ , ] sehingga berlaku
2

( ; ) − ( ; ) < ( ; ) − ( ; ) <
1
2
1
1
2
2
2
1
2 2
Ambil ∶= ∪ , maka adalah partisi pada [ , ]. Berdasarkan fakta-fakta ini maka
1

2

diperoleh
( ; ) − ( ; ) = ( ( ; ) + ( ; )) − ( ( ; ) + ( ; ))
2

2

1
1
= ( ( ; ) + ( ; )) − ( ( ; ) + ( ; )) <
2
1
2
1
Jadi, Berdasarkan kriteria Riemann disimpulkan terintegral pada [ , ]. (→): Diketahui
terintegral pada [ , ] maka > 0 sebarang., terdapat partisi pada [ , ] sehingga
( ; ) − ( ; ) <
′
′
Jadikan c sebagi titik partisi dengan mengambil partisi ∶= ∪ { }. Mengingat penghalus
maka berlaku
′
( ; ) − ( ; ) ≤ ( ; ) − ( ; ) <
′
′
Definisikan ∶= ∩ [ , ] dan ∶= ∩ [ , ]. Dengan pendefinisian ini maka adalah
′
′
′
′
1
1
2
partisi pada [ , ] dan adalah partisi pada [ , ] dan berlaku hubungan
′
2
′
′
( ; ) = ( ; ) + ( ; ) ( ; ) = ( ; ) + ( ; )
′
′
′
′
2
1
2
1
1
2
2
1
Dengan menggunakan ketaksamaan sebelumnya diperoleh
′
′
( ( ; ) − ( ; )) + ( ( ; ) − ( ; )) = ( ; ) − ( ; ) <
′
′
′
′
1
1
2
1
2
2
2
1