Page 11 - PENGDEFINISIAN INTEGRAL (Magang Enggar MPMAT)

BUKTI. (←)

Kita tahu bahwa untuk sebarang partisi yang memenuhi ( , ) − ( , ) < , maka

ketaksamaan ini juga dipenuhi oleh partisi P sebelumnya . Jadi
( ) − ( ) <

Gambar

Oleh karena > 0 sebarang maka diperoleh ( ) ≤ ( ). Mengingat faktanya ( ) ≤ ( ),
maka dapat disimpulkan ( ) = ( ). Ini Berarti ∈ ℛ[ , ] ∎

Sebagai akibat langsung dari teorema ini kita dendapatkan syarat cukup untuk sebuah fungsi
Integral Riemann

Teorema 3.

Jika : [ , ] → ℝ fungsi terbatas dan terdapat ; ∈ ℕ barisan partisi pada [a,b] sehingga

lim( ( , ) − ( , )) = 0

Maka ∈ ℛ[ , ] dan lim ( , ) = lim ( , ) = ∫ ( )

BUKTI. Berdasarkan definisi limit barisan, jika diberikan > 0 sebarang maka terdapat
1
bilangan positif > 0 sehingga > . Dengan cukup diambil partisi maka pasti berlaku

( , ) − ( , ) <

Dengan kriteria Riemann sebelumnya maka disimpulkan ∈ ℛ[ , ]. Berdasarkan

lim( ( , ) − ( , )) = 0

Maka diperolah

lim ( , ) = lim ( , )

Oleh karena itu selalu berlaku