Page 9 - PENGDEFINISIAN INTEGRAL (Magang Enggar MPMAT)

Agar ekspresi terakhir kurang dari maka cukup diambil < , misalnya = , sehingga untuk
5 10
̇
setiap partisi terlabel [0,3] dengan ‖ ‖ < , berlaku
̇
| ( , ) − 8| <

Jadi , f terintegral Reimaan pada [0,3]

BUKTI.(Cara 2. Pendekatan Darboux)

1
1
Untuk setiap ∈ ℕ, ambil partisi = {0,1 − , 1 + , 3}. Terhadap partisi ini diperoleh jumlahan

atas dan jumlahan bawah sebagai berikut
1 2 1 1
( , ) = 2 (1 − ) + 2 ( ) + 3 (2 − ) = 8 −

1 2 1 1
( , ) = 2 (1 − ) + 3 ( ) + 3 (2 − ) = 8 +

Akibatnya

sup
8 = { ( , ): ∈ ℕ} ≤ sup{ ( , ): ∈ [0,1]} = ( )

inf
8 = { ( , ): ∈ ℕ} ≥ sup{ ( , ): ∈ [0,1]} = ( )

3
Terbukti bahwa ∫ ( ) = 8
0
SIFAR-SIFAT INTEGRAL RIEMANN

Teorema 1

Jika f terintegral Riemann pada [a,b] maka nilai integralnya tunggal.

BUKTI. Dengan Kontradiksi

Andaikan ada lebih dari satu nilai integral, yaitu ∫ = dan ∫ = . dimana dan
1 2 1 2
merupakan integral Riemann f pada [a,b] dengan ≠ .
1
2
Berdasarkan definisi, untuk setiap > 0 terdapat > 0 dan > 0 sehingga setiap partisi terlabel
2
1
̇
̇
̇
̇
dan dengan ‖ ‖ < dan ‖ ‖ < berlaku
2
1
1
2

̇
̇
| ( , ) − | < dan | ( , ) − | <
1
2
1
1
2 2
Dengan demikian