Page 12 - PENGDEFINISIAN INTEGRAL (Magang Enggar MPMAT)

( , ) ≤ ∫ ( ) ≤ ( , )

Untuk setiap ∈ ℕ maka dengan menggunakan teorema kekonvergenan jepit (TKJ) diperoleh

lim ( , ) = lim ( , ) = ∫ ( ) ∎

Contoh
Diberikan fungsi : [0,3] → ℝ dengan

2 bila 0 ≤ ≤ 1
( ) = {
3 bila 1 ≤ ≤ 3

Buktikan terintegral Riemann pada [0,3] dengan cara menggunakan kriteria selisih jumlah atas

1 2 1
dan jumlah bawah. (Petunjuk: ambil partisi pada [0,3] sebagai = {0, , , … , = 1,1 + , 1 +

2
1

2 , … ,1 + = 2,2 + , 2 + , … ,2 + = 3}.

Dalam melakukan perhitungan teknis suatu integral kita sering berhadapan dengan fungsi
pelik sebagi gambaran beberapa fungsi yang dihubungkan oleh operasi aritmetika seperti
jumlahan, perkalian scalar, perkalian dan pembagian fungsi. Oleh karena itu, kita membutuhkan
sifat aljabar fungsi-fungsi terintegral seperti diungkapkan pada serangkaian teorema berikut.

Teorema (PERKALIAN SKALAR) Bila : [ , ] → ℝ fungsi terintegral pada [ , ] maka fungsi
, suatu konstanta terintegral dengan

∫ = ∫

BUKTI. Untuk = 0 fungsi = 0 sehingga otomatis berlaku. Untuk < 0, gunakan sifat
supremum dan infimum berikut

( ) = ( ) dan ( ) = ( )

Jadi, berlaku ( ) = ( ). Diperoleh

∑ ( )∆ = ∑ ( )∆

( ; ) = ( , )

( ; ) = ( , ) = ( , )

( ) = ( )

Argumen yang sama kita dapat penjabaran berikut: