Page 10 - PENGDEFINISIAN INTEGRAL (Magang Enggar MPMAT)

̇
̇
| − | = | − ( , ) + ( , ) − |
2
2
1
1
̇
̇
≤ | − ( , )| + | ( , ) − |
1
2

< + =
2 2
Jadi, | − | <
1
2
Karena untuk setiap > 0 berlaku | − | < maka | − | = 0 . Artinya = . Hal
1
1
2
2
2
1
ini kontradiksi dengan pengandaian di atas yaitu ≠ . Jadi, terbukti bahwa nilai integral
1
2
Riemann dari fungsi f pada [a,] adalah tunggal. ∎
Teorema 2.
Diberikan : [ , ] → ℝ fungsi terbatas pada [a,b]. Maka ∈ ℛ[ , ] jika dan hanya jika setiap
> 0 terdapat partisi pada [a,b] sehingga berlaku

( , ) − ( , ) <

BUKTI. (→)
Diketahui ∈ ℛ[ , ], maka berlaku ( ) = ( ). Diberikan > 0 sebarang. Mengingat ( )
adalah supremum para ( , ) maka ada partisi pada [a,b] sehingga berlaku
1

( ) − < ( , )

2
Juga mengingat ( ) adalah infimum pada ( , ) maka terdapat partisi pada [a,b] sehingga
2
berlaku

( ) + > ( , )
2
Diambil partisi = ∪ , maka merupakan penghalus dari kedua partisi dan . Oleh

1
2
2

1
Karena Itu berlaku

( ) − < ( , ) ≤ ( , ) ≤ ( , ) ≤ ( , ) < ( ) +
1
2

2 2
A M N B

Ketidaksamaan ini dapat diselesaikan dengan pendekatan lebar interval seperti ditunjukkan pada
gambar. Mengingat ( ) = ( ) maka diperoleh

( , ) − ( , ) < ( ( ) + ) − ( ( ) − )

2 2
= ( ) − ( ) +
=