Page 6 - PENGDEFINISIAN INTEGRAL (Magang Enggar MPMAT)

′
′′
≤ ( − −1 ) + ( − )

( − −1 ) = ( − −1 ) + ( − )

′′
′
≥ ( − −1 ) + ( − )

Maka dengan menjumlahkan suku lainnya diperoleh
( , ) ≤ ( , )
( , ) ≥ ( , ) ∎
Lemma ini mengatakan bahwa jika partisi diperhalus maka jumlah bawahnya bertambah sedangkan
jumlah atasnya berkurang.

LEMMA 2

Diberikan fungsi : → ℝ terbatas, dan partisi pada I maka
2
1
( , ) ≤ ( , )
2
1
BUKTI. Diberikan = ⋃ , maka penghalus dari dan . Dengan menggunakan lemma
1
2
2
1
sebelumnya maka di peroleh
( , ) ≤ ( , ) ≤ ( , ) ≤ ( , ) ∎
1
2
LEMMA 3

Jika fungsi : → ℝ terbatas, maka integral bawah ( ) dan integral atas ( ) ada dan berlaku

( ) ≤ ( )

BUKTI. Misalkan dan partisi sebarang pada I , maka berdasarkan lemma sebelumnya berlaku
1
2
( , ) ≤ ( , )
1
2
Ini berarti ( , ) batas atas himpunan { ( , ): ∈ ( )} sehingga
2
( ) = sup { ( , ), ( )} ≤ ( , )
2

Mengingat partisi sebarang dan ( ) bilangan tertentu maka ( ) batas bawah himpunan
2
{ ( , ): ∈ ( )}. Jadi

( ) ≤ inf { ( , ), ( )} ≤ ( ) ∎

Contoh

Diberikan fungsi : [0,1] → ℝ dengan