Page 8 - PENGDEFINISIAN INTEGRAL (Magang Enggar MPMAT)

Buktikan f terintegral Riemann pada [0,3]

BUKTI. (Cara 1. Menggunakan Pendekatan Riemann)

̇
Misalkan partisi terlabel [0,3] dengan ‖ ‖ < sebagai berikut
̇
= {([ −1 , ]: ): [0,3], = 1,2, … , , + 1, … , }

Partisi dipecah menjadi

̇
̇
= {([ −1 , ]: ): [0,1]} dan = {([ −1 , ]: ): [1,3]}
1

2
̇
̇
̇
Ini berarti adalah himpunan bagian dengan labelnya berada didalam [0,1], sedangkan untuk
2
1
label berada dalam [0,3]. Maka berlaku
̇
̇
̇
( , ) = ( , ) + ( , )
2
1
Misalkan label terakhir di dalam [0,1] maka situasi subinterval yang bersesuaian dengan label.

Oleh karena
Dengan mengambil jumlah untuk semua label di dalam [0,1], oleh karena − −1 < maka

1 − ≤ ≤ 1 + maka berlaku

] ⊂ [0,1 + ]
[0,1 − ] ⊂ [0,1] [ −1,
Dengan mengmbil jumlahan untuk semua label di dalam [0,1] maka diperoleh

̇
2(1 − ) ≤ ( , ) ≤ 2(1 + )
1
Disisi lain berlaku pula
[1 + , 3] ⊂ (1,3] [ −1 , ] ⊂ [1 − , 3]

Akibatnya
̇
3(2 − ) ≤ ( , ) ≤ 3(2 + )
2
Dengan demikian

̇
̇
8 − 5 ≤ ( , ) + ( , ) ≤ 8 + 5
2
1
Akibatnya
̇
| ( , ) − 8| < 5