Page 7 - PENGDEFINISIAN INTEGRAL (Magang Enggar MPMAT)

1 bila rasional
( ) = {
0 bila irasional
Buktikan f tidak terintegral pada [0,1]

BUKTI. Misalkan = { , , … , } sebarang partisi pada [0,1]. Berdasarkan sifat kepadatan
0
1

bilangan rasional, di dalam setiap subinterval = [ −1 , ] pada P, diperoleh

= ∈ ( ) = 1 dan = ∈ ( ) = 0

Jadi, Jumlahan atas dan bawah fungsi f terhadap partisi P adalah

( , ) = ∑ ∆ = 0 dan ( , ) = ∑ ∆ = 1

=1
=1
Akibatnya

( ) = ( , ) = 0 dan ( ) = ( , ) = 1
∈ ∈
Dengan demikian ( ) ≠ ( ) sehingga dapat disimpulkan f tidak terintegral pada [0,1] ∎

D. Integral Riemann

DEFINISI

Diberikan : [ , ] → ℝ kontinu pada [a,b] dikatakan terintegral Riemann pada [a,b], jika terdapat

bilangan real L sehingga untuk setiap > 0 terdapat > 0, sehingga setiap partisi berlabel

̇
̇
pada [a,b] dengan norma ‖ ‖ < berlaku:
̇
| ( , ) − | <
Selanjutnya, L disebut dengan integral Riemann f pada [a,b] dilambangkan dengan

= ∫ atau = ∫ ( )

̇
̇
Definisi di atas menyiratkan bahwa L adalah limit jumlahan Riemann ( , ) apabila ‖ ‖ → 0
Himpunan semua fungsi terintegral Riemann dinyatakan dengan ℛ[ , ]

Contoh

Diberikan fungsi : [0,3] → ℝ dengan

2 bila 0 ≤ ≤ 1
( ) = {
3 bila 1 ≤ ≤ 3