Page 5 - PENGDEFINISIAN INTEGRAL (Magang Enggar MPMAT)
P. 5
} dan =
Diberikan P dan Q partisi pada [a,b] dengan = { , , , , … , −1,
2
0
1
3
}. Partisi Q dikatakan penghalus dari partisi P jika ⊆ .
{ , , , , … , −1,
2
1
0
3
Contoh
1 1
Diberikan = [0,1] dan = {0, , , 1}. Tentukanlah mana yang merupakan penghalus dari P.
4 3
1
1 1 3
a. = {0, , , , 1}, bukan penghalus P karena ∉ .
1
1
1
4 2 4 3
1 1 3
b. = {0, , , , 1}, adalah penghalus P karena ⊆ .
2
2
2
4 3 4
LEMMA 1
Diberikan fungsi : → ℝ terbatas, P dan Q partisi pada I dengan ⊆ maka berlaku
( , ) ≤ ( , ) ≤ ( , ) ≤ ( , )
}. Mengingat Q penghalus P maka paling tidak
BUKTI . Misalakan = { , , , , … , −1,
2
3
1
0
] pada P yang memuat ∈ sehingga dapat dinyatakan
terdapat satu subinterval = [ −1
sebagai
[ −1 −1 , ] ∪ [ , ]
] = [
]. Oleh karenanya diperoleh jika
Akibatnya [ −1 ] ⊂ [ −1 −1
] dan [ , ] ⊂ [
inf
′
′′
inf
inf
= ∈[ −1 , ] { ( )}, = ∈[ −1 , ] { ( )}, = ∈[ , ] { ( )}
′
′′
= sup { ( )}, = sup { ( )}, = sup { ( )}
∈[ −1 , ] ∈[ −1 , ] ∈[ , ]
Maka berlaku
′
′′
≤ dan ≤
Serta
′′
′
≥ dan ≥
Dengan demikian diperolah
( − −1 ) = ( − −1 ) + ( − )
