Page 13 - PENGDEFINISIAN INTEGRAL (Magang Enggar MPMAT)

∑ ( )∆ = ∑ ( )∆

( ; ) = ( , )

( ; ) = ( , ) = ( , )

( ) = ( )
Berdasarkan kedua hasil ini dan mengingat ( ) = ( ) maka diperoleh

( ) = ( ) = ( ) = ( )

Jadi, disimpulkan terintegral pada [ , ] dengan ∫ = ( ) = ∫ . Untuk > 0 lebih

mudah, tidak ada perubahan dari supremum menjadi infimum, atau sebaliknya. Pembaca dapat
mencobanya sendiri.

Teorema. (JUMLAHAN FUNGSI TERINTEGRAL) Misalkan , : [ , ] → ℝ fungsi terintegral

pada [ , ]. Maka + terintegral dan berlaku

∫ ( + ) = ∫ + ∫

BUKTI. Gunakan sifat Supremum dan infimum sebagai berikut:

( ( ) + ( )) ≥ ( ) + ( )

( ( ) + ( )) ≤ ( ) + ( )

Selanjutnya, dengan sifat ini kita dapat membentuk jumlah bawah dan jumlah atas yang

bersesuaian sehingga diperoleh
( ; + ) ≥ ( ; ) + ( ; ) dan ( ; + ) ≤ ( ; ) + ( ; )

Oleh karena dan masing-masing terintegral makan untuk setiap > 0 terdapat partisi dan

sehingga berlaku

( ; ) − ( ; ) < atau ( ; ) < ( ; ) +

2
2

( ; ) − ( ; ) < atau ( ; ) < ( ; ) +

2 2

Diambil partisi ∶= ∪ maka penghalus untuk dan . Berdasarkan lemma di awal

diperoleh

( ; + ) ≤ ( ; ) + ( ; ) ≤ ( ; ) + ( ; );

≤ ( ; ) + ( ; ) +

≤ ( ; ) + ( ; ) + ≤ ( ; + ) +