Page 15 - PENGDEFINISIAN INTEGRAL (Magang Enggar MPMAT)

Dengan ∶= [ , ]| ( )|
BUKTI. Mengingat terintegral makan terbatas, yaitu ada sehingga | ( )| ≤ untuk setiap

[ , ]. Oleh karena itu | | juga terbatas karena || |( )| = | ( )| ≤ . Mudah dipahami bahwa

jika kontinu maka | | juga kontinu, tetapi tidak berlaku sebaliknya. Dengan kata lain himpunan

titik dimana | | diskontinu adalah bagian dari himpunan dimana diskontinu. Dengan asumsi
kontinu pada [ , ] kecuali pada berhingga banyak titik maka begitu juga dengan | |. Oleh karena

itu disimpulkan | | terbatas dan kontinu pada [ , ] kecuali pada berhingga titik. Juga,

disimpulkan | | terintegral. Selanjutnya oleh karena selalu berlaku
−| | ≤ ≤ | |

Maka diperoleh

− ∫ ⌈ ⌉ ≤ ∫ | | ≤ ∫ | |

Dengan sifat nilai mutlak disimpulkan |∫ | ≤ ∫ | |. Mengingat fungsi terbatas maka

diperoleh ∫ | | ≤ ∫ = ( − ).

Selanjutnya kita bahas keterintegralan perkalian fungsi.
Teorema . Jika dan keduanya terintegral pada [ , ] maka juga terintegral.

BUKTI. Diketahui dan keduanya terintegral maka keduannya terbatas pada [ , ]. Oleh karena
itu fungsi juga terbatas pada [ , ]. Kekontinuan fungsi dan mengakibatkan fungsi juga

kontinu. Himpunan titik dimana fungsi diskontinu termuat di dalam himpunan titik-titik

dimana fungsi atau fungsi diskontinu. Dengan argument yang sama ketika membuktikan
keterintegralan fungsi nilai mutlak sebelumnya maka disimpulkan terintegral pada [ , ].

Integral perkalian fungsi tidak mempunyai formula terkait dengan integral masing-masing
fungsi seperti halnya formula derivative perkalian fungsi. Perlu untuk diingatkan bahwa

∫ ≠ (∫ ) (∫ )

Sudah menjadi kebiasaan dalam perhitungan integral, bila domain integral [ , ] terpecah

oleh sebuah titik c, yaitu a < c < b dan terbentuk dua subinterval [ , ] dan [ , ] maka formula
Berikut sering sekali digunakan.

∫ = ∫ + ∫

Ini adalah sifat aditif integral yang dijustifikasi pada teorema Berikut.