Page 14 - PENGDEFINISIAN INTEGRAL (Magang Enggar MPMAT)

Dengan demikian diperoleh adanya partisi dengan ( ; + ) − ( ; + ) + , yang

disimpulkan + terintegral. Untuk mengetahui nilai integralnya, kita gunakan ketaksamaan
sebelumnya, yaitu:

∫ ( + ) ≤ ( ; + ) ≤ ( ; ) + ( ; ) + ≤ ∫ + ∫ +

dan juga

∫ + ∫ ≤ ( ; ) + ( ; ) ≤ ( ; + ) + ≤ ∫ ( + ) +

Dari kedua ketaksamaan ini diperoleh

|∫ ( + ) − (∫ + ∫ )| +

Mengingat > 0 sebarang maka terbukti bahwa ∫ ( + ) − ∫ + ∫

Sejauh ini kita baru mengetahui keterintegralan jumlahan dan perkalian skalar fungsi
terintegral. Untuk perkalian akan segera dibahas pada bagian berikutnya, sedangkan untuk
pembagian dikembalikan ke perkalian. Berikut ini kita bahas sifat monoton operasi integral.

Teorema. (POSITIVITAS INTEGRAL). Bila : [ , ] → ℝ dan ( ) ≥ 0 untuk setiap [ , ]

maka ∫ ≥ 0. Lebih lanjut, jika ada fungsi integral : [ , ] → ℝ dengan ( ) ≤ ( ) untuk

setiap [ , ] maka ∫ ≤ ∫ .

BUKTI. Mengingat ( ) ≥ 0 maka = ( ) ≥ 0 sehingga ( ; ) ≥ 0. Jadi,

∫ ≥ ( ) = ( ; ) ≥ 0.

Untuk hasil kedua, definisikan fungsi ℎ sebagai ℎ ∶= − maka ℎ( ) ≥ 0. Terapkan hasil

sebelumnya dan gunakan sifat jumlahan dan perkalian skalar sebelumnya, maka bukti selesai.
Selanjutnya dibahas keterintegralan fungsi nilai mutlak | | yang di definisikan sebagai

| |( ) ∶= | ( )|. Pada teorema Berikut kita akan menggunakan fakta bahwa fungsi terbatas dan

kontinu kecuali pada berhingga banyak titik selalu terintegral. Fakta ini akan dibahas secara formal
pada bab pengembangan konsep integral. Untuk sementara, fakta ini digunakan saja dulu tanpa

mempertimbangkan buktinya.
Teorema. Jika ∶ [ , ] → ℝ terintegral maka | | terintegral dan berlaku

|∫ | ≤ ∫ | | ≤ ( − )