Page 24 - 수학(하)

등급 UP 04 원소의 개수의 최댓값과 최솟값 쉽게 구하기

]
전체집합 U 의 두 부분집합 ,AB 에 대하여 두 집합 ,AB (단, n A # ]g n Bg )의 위치가 여건에 따라
변화할 때, 위치 변화의 상태를 살펴보면 다음과 같다.
유형
) 1 n A , Bg 의 최댓값과 최솟값 01
]
1 n A , Bg 의 최솟값 2 n A , Bg 의 중간값 3 n A , Bg 의 최댓값 집
]
]
]
U U U 합
B B B
A A A

n A + Bg가 최대인 경우 n A + Bg가 중간인 경우 n A + Bg가 최소인 경우
]
]
]
2) n A + Bg 의 최댓값과 최솟값
]
1 n A + Bg 의 최솟값 2 n A + Bg 의 중간값 3 n A + Bg 의 최댓값
]
]
]
U U U
B B B
A A A

n A , Bg 가 최대인 경우 n A , Bg 가 중간인 경우 n A , Bg 가 최소인 경우
]
]
]
예 두 집합 ,AB 에 대하여 n A = 14 , n B = 25 , n A + g 6
] g
] g
B $ 일 때,
]
n A , Bg 의 최솟값과 최댓값의 합을 구해 보자.
]
1단계 n A , Bg 의 최솟값 구하기
]
n A , Bg 의 최솟값은 n A + Bg 가 최대인 경우이므로 n A , g n B = 25 이다.
]
]
B = ] g
]
2단계 n A , Bg 의 최댓값 구하기
]
n A , Bg 의 최댓값은 n A + Bg 가 최소인 경우이므로, 즉 n A + g 6
B = 일 때이다.
]
]
]
그러므로 n A , g n A + ]g n B - ] B = 14 + 25 - 6 = 33 이다.
n A + g
g
B = ]
]
따라서 최솟값과 최댓값의 합은 25 + 33 = 58 이다.
예 100 명의 학생 중 축구를 좋아하는 학생이 54 명, 농구를 좋아하는 학생이 72 명일 때,
축구와 농구를 모두 좋아하는 학생 수의 최솟값과 최댓값의 합을 구해 보자.
전체학생의 집합을 ,U 축구를 좋아하는 학생의 집합을 ,A 농구를 좋아하는학생의 집합을 B 라 하면
n U = 100 명 ] g , n A = 54 명 , n B = 72명이다.
] g
] g
1단계 n A + Bg 의 최솟값 구하기
]
n A + Bg 의 최솟값은 n A , Bg 가 최대인 경우이고, n A + ]g n B $ ] ] B = ] g 100명이다.
n U =
g
n Ug 이므로 n A , g
]
]
]
n U =
그러므로 n A + g n A + ]g n B - ] B = ] n B - ] g 54 + 72 - 100 = 26 명이다.
n A , g
n A + ]g
g
B = ]
]
g
2단계 n A + Bg 의 최댓값 구하기
]
n A + Bg 의 최댓값은 n A , Bg 가 최소인 경우이므로 n A + g n A = 54 명이다.
]
B = ] g
]
]
따라서 최솟값과 최댓값의 합은 26 + 54 = 80 명이다.
019