Page 23 - 수학(하)

등급 UP 02 배수의 집합 쉽게 구하기

, , A n 이라 할 때,
자연수 ,km n 의 양의 배수의 집합을 A k , A m
) 1 A m + A n = A k 이면 k 는 mn 의 최소공배수이므로 A m + A n 은 m 과 n 의 공배수의 집합이다.
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예를 들어 A 3 = " , 369 12 , 15 18 21 24 , 27 g, , A 4 = " , 48 12 , 16 20 24 , 28 g, 이므로
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,
A 3 + A 4 = " 12 , 24 36 48 g = A 12 이다. 이때, 12 는 3 과 4 의 최소공배수이다.
,
2) A m , A n = A m 이면 A n 1 A m 이므로 n 은 m 의 배수이다.
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예를 들어 A 2 = " , 24 68 10 12 14 16 g, , A 4 = " , 48 12 16 20 24 28 g, 이므로
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,
,
A 2 , A 4 = " , 24 68 10 12 g = A 2 이다. 이때, 4 는 2 의 배수이다.
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,
예 자연수 k 의 양의 배수의 집합을 A k 라 할 때, A 2 , A 3 + A 4 를 간단히 해 보자.
g
]
A 2 + A4 는 2 와 4 의 공배수의 집합, 즉 4 의 배수의 집합이고, A 3 + A4 는 3 과 4 의 공배수의 집합,
A 3 +
A4 =
]
즉 12 의 배수의 집합이므로 분배법칙에서 A 2 , g A4 = ] A 2 + A4 , ] A 3 + g A4 , A 12 이다.
g
따라서 A 12 1 A4 이므로 A 2 , A 3 + A4 = A4 , A 12 = A4 이다.
]
g
예 자연수 k 의 양의 배수의 집합을 A k 라 할 때, A 4 , A 8 + ]g A 3 , A 6g 를 간단히 해 보자.
]
A4 , A 8 = A4 , A 3 , A 6 = A 3 이므로 A 4 , A 8 + ]g A 3 , A 6 = A4 + A 3 = A 12 이다.
g
]
x
예 자연수 전체 의 집합의 부분집합 Ak = {| x 는 k 의 배수 } 에 대하여 An 1 ] " A 3 + A4 , A 6, 을
g
만족시키는 자연수 n 의 최솟값을 구해 보자.( 단, k 는 자연수 )
A 3 + A4 = A 12 , A 12 , A 6 = A 6 이므로 A n 1 A 6 이다.
따라서 A n 1 A 6 을 만족시키는 자연수 n 은 6 의 배수이므로 n 의 최솟값은 6 이다.
등급 UP 03 대칭차집합 쉽게 구하기
) 1 대칭차집합
A
전체집합 U 의 두 부분집합 ,AB 에 대하여 두 차집합 A - B 와 B - 의 합집합을 대칭차집합이라
하며 일반적으로 연산기호 3를 사용하여 다음과 같이 나타낸다.
A 3 B = ] A - B , ]g B - Ag U
A B
즉, 오른쪽 그림과 같이 전체집합 U 를 4 개의 영역으로 나누고
각 영역에 해당하는 원소의 개수를 1 , 2 , 3 , 4 라 하면 1 2 3
A 3 B = ] A - B , ]g B - g 1 + 3 이다. 4
A =
) 2 대칭차집합의 성질
1 ]g A 3 B = ] A , g A + Bg 2 ]g A 3 B = ] A , g A + Bg C
B - ]
B + ]
3 ]g A 3 B = B 3 A (교환법칙 ) 4 ]g A 3 g C = A 3 ] B 3 Cg (결합법칙 )
B 3
]
C
5 ]g A 3 z = , A A 3 A = z 6 ]g A 3 A = , UA 3 U = A C
018 Ⅳ. 집합과 명제