Page 94 - 수학(하)

예제 03 합의 법칙

양의 정수 ,xy 에 대하여 x + y # 를 만족시키는 순서쌍 xyh 의 개수를 구하시오.
4
,
^
, xy 가 양의 정수이므로 x + y # 4 를 만족시키는 x + 의 값은 ,23 4 이다. 개념 다지기
,
y
2
y
y
y
4
3
x += 인 사건을 ,A x += 인 사건을 ,B x += 인 사건을 C 라 하면 경우의 수의 합의 법칙에 따라 분류하여
사건 A 가 일어나는 경우는 ,11h 의 1 가지 순서쌍의 개수를 구한다.
^
,
^
^
사건 B 가 일어나는 경우는 ,12h , 21h 의 2 가지
,
,
^
사건 C 가 일어나는 경우는 ,13h , 22h , 31h 의 3 가지
^
^
,
따라서 세 사건 ,AB C 가 동시에 일어날 수 없으므로 유형
05
구하는 경우의 수는 합의 법칙에 의하여 1 ++ 3 = 이다.
2
6
예제 04 곱의 법칙 경
우
의
72 의 양의 약수의 개수를 구하시오. 수
와
3
72 를 소인수분해하면 72 = 2 # 3 이므로 72 의 약수는 다음 표와 같이 개념 다지기 순
2
2 # 3 n (m = , 01 23 , n = , 01 2 으로 나타낼 수 있다. 경우의 수의 곱의 법칙에 따라 분류하여 열
,
,
m
,
)
양의 약수의 개수를 구한다.
이때 m 을 택하는 경우의 수가 4 이고, n 을 택하는 경우의 수가 3 이다.
3 0 3 1 3 2
0
0
1
0
0
2
2 0 2 # 3 = 1 2 # 3 = 3 2 # 3 = 9
1
2 1 2 # 3 = 2 2 # 3 = 6 2 # 3 = 18
2
1
0
1
1
2
2
2
1
2
2 2 2 # 3 = 4 2 # 3 = 12 2 # 3 = 36
0
3
3
1
0
2
2 3 2 # 3 = 8 2 # 3 = 24 2 # 3 = 72
3
따라서 72 의 양의 약수의 개수는 곱의 법칙에 의하여 4 # 3 = 12 이다.
예제 05 합의 법칙과 곱의 법칙
,
,
,
,
두 집합 X = " , 12 3, , Y = " , 1 23 45, 에 대하여 다음 조건을 만족시키는
함수 fX $ Y 의 개수를 구하시오.
:
]
(가) f 1 + ]g f 2g 는 홀수이다. (나) f 2 # ] 은 짝수이다.
] g
f 3g
주어진 조건 (가)에서 f 1 + ]g f 2g 가 홀수이므로 다음 두 가지 경우로 나눌 수 있다. 개념 다지기
]
(1) f 1 ]g 은 짝수, f 2 ]g 는 홀수인 경우 1 ] g ^ 짝수h + 짝수h = 짝수
^
^
f 3g 이 짝수이므로 f 3 ]g 은 짝수이어야 한다.
주어진 조건 (나)에서 f 2 # ] 2 ] g ^ 짝수h + 홀수h = 홀수
] g
3 ] g ^ 홀수h + 홀수h = 짝수
^
f 1 ]g 은 ,24 중 하나이므로 경우의 수는 2 이다.
^
4 ] g ^ 짝수h # 짝수h = 짝수
,
f 2 ]g 는 ,13 5 중 하나이므로 경우의 수는 3 이다.
5 ] g ^ 짝수h # 홀수h = 짝 수
^
f 3 ]g 은 ,24 중 하나이므로 경우의 수는 2 이다.
^
6 ] g ^ 홀수h # 홀수h = 홀 수
그러므로 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여 2 ## 2 = 12 이다.
3
(2) f 1 ]g 은 홀수, f 2 ]g 는 짝수인 경우
f 3g 이 짝수이므로 f 3 ]g 은 집합 Y 의 어느 원소이어도 된다.
주어진 조건 (나)에서 f 2 # ]
] g
,
f 1 ]g 은 ,13 5 중 하나이므로 경우의 수는 3 이다.
f 2 ]g 는 ,24 중 하나이므로 경우의 수는 2 이다.
,
,
,
f 3 ]g 은 ,12 34 5 중 하나이므로 경우의 수는 5 이다.
그러므로 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여 3 ## 5 = 30 이다..
2
g
]
따라서 구하는 경우의 수는 합의 법칙에 의하여 1 + ]g 2 = 12 + 30 = 42 이다.
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