Page 95 - 수학(하)

개 념 02 순열

. 1 순열
,
,
예를 들어 ,12 34가 각각 하나씩 적힌 4장의 카드 중에서 3장을 뽑아 세 자리의 자연수를 만들기 위하여
,
,
,
먼저 자연수 세 개를 택만 하면 123 124 134 234 의 4 가지이다.
이 택한 자연수 4 가지를 나열하면 다음 표와 같이 곱의 법칙에 의하여 4 # 6 = 24 가지임을 알 수 있다.
택한 자연수 택한 자연수 나열 가짓수
,
,
,
123 123 , 132 213 231 312 321 6
,
,
124 124 , 142 214 241 412 421 6
,
,
,
134 134 , 143 314 341 413 431 6
,
,
,
,
,
,
,
234 234 , 243 324 342 423 432 6
,
다른 방법으로 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리에 올 수 있는 숫자의 개수를 살펴보면
,
,
) 1 백의 자리에는 ,12 34 의 4 개의 숫자 중 어느 숫자라도 올 수 있으므로 4 개이다.
) 2 십의 자리에는 백의 자리에 쓴 숫자를 제외한 나머지 3개의 숫자 중 어느 숫자라도 올 수 있으므로 3개이다.
) 3 일의 자리에는 백, 십의 자리에 쓴 숫자를 제외한 나머지 2개의 숫자 중 어느 숫자라도 올 수 있으므로 2개이다.
그러므로 세 자리 수의 개수는 곱의 법칙에 의하여 경우의 수는 4 ## 2 = 24 이다.
3
이와 같이 서로 다른 4 개에서 3 개를 택하여 일렬로 나열하는 것을 서로 다른 4 개에서 3 개를
택하는 순열이라 하고, 이 순열의 수를 기호로 P 3 과 같이 나타낸다.
4
따라서 서로 다른 n 개에서 r n $ rg 개를 택하여 일렬로 나열하는 것을
]
서로 다른 n 개에서 r 개를 택하는 순열이라 하고, 이 순열의 수를 기호로 P r 와 같이 나타낸다.
n
. 2 순열의 수
n
) 1 서로 다른 n 개에서 r 개를 택하는 순열의 수 P r
r
n n -
1 단
n P r = ] 1 ]g n - 2 g ]g n -+ g ^ , 0< r # nh : n 부터 시작하여 1씩 작은 r 개의 자연수의 곱이다.
144444444444444444 244444444444444444 3
r개
참고 P 4 = 6 P 3 = 120 에서 알 수 있듯이 P R = n P r 라 해서 반드시 N = , n R = 인 것은 아니다.
r
5
N
2) 서로 다른 n 개에서 n 개 모두를 택하는 순열의 수 P n = ! n
n
3
n n -
1
2 g
n P n = ] 1 ]g n - g ## 2 # 이다.
1444444444444444444 2444444444444444444 3
n개
여기서 1부터 n 까지의 모든 자연수를 차례로 곱합 것을 n 의 계승이라 하며,
n n -
3
2 g
이것을 기호로 !n 과 같이 나타낸다. 즉, P n = ] 1 ]g n - g ## 2 # 1 = ! n 이다.
n
참고 n 의 계승 !n 에서 !은 펙토리얼 factorialh 이라 읽는다.
^
! n
3) P r = ^ 단 , 0< r # nh
n
] n - rg !
r
n n -
n P r = ] 1 ]g n - 2 g ]g n -+ 1g
n n - 1 ]g n - 2 g ]g n -+ g n - g ] r 1 # g ## 2 # 1 ! n
3
r
r n - - g
1 # ]
]
= = 이다.
2
] n - g ] r 1 # g # 3 ## 1 ] n - rg !
r n - - g
꼼수 해석
확률과 통계의 기본 원칙은 같으면 나누고, 다르면 곱한다.
따라서 서로 다른 n 개에서 r 를 택하여 나열하는 순열의 수인 P r 은 서로 다른 n 개에서 n 개를
n
택하는 순열의 수에서 택하지 않은 n - rg 개를 같은 것으로 간주하여 나눈다고 생각한다.
]
n 개
,
,
,
,
,
,
,
,
즉, TT gTT , 333 g , 33 이므로 P r = ] n - ! n ! ^ 단 , 0< r # nh 이다.
n
r 개 택함 ] n - rg 개 택하지 않음 rg
4) 순열의 수의 정의
! n ! n ! n ! n
1
1 ]g !0 = 2 ]g P n = = = ! n 3 ]g P 0 = = = 1
n
n
] n - ng ! ! 0 ] n - 0g ! ! n
090 Ⅵ. 경우의 수