Page 2 - Tugas M11 SA - Nurul Izzah Annisa
P. 2
LATIHAN RING DAN FIELD
Untuk soal 1 sampai 10, tulis B jika pernyataan benar dan S jika salah.
1. (S) Setiap ring merupakan grup.
Alasan:
Sebuah ring tidak selalu merupakan grup. Meskipun kedua struktur tersebut terkait,
mereka memiliki properti yang berbeda. Berikut adalah perbedaan utama antara ring dan
grup:
a. Operasi: Ring memiliki dua operasi, yaitu penjumlahan dan perkalian, sementara grup
hanya memiliki satu operasi, yaitu operasi grup (biasanya disebut penjumlahan grup).
b. Invers: Setiap elemen dalam grup memiliki invers, yang merupakan elemen lain
dalam grup yang ketika dioperasikan bersama dengan elemen pertama akan
menghasilkan elemen identitas grup (biasanya disebut elemen nol grup). Dalam ring,
tidak semua elemen memiliki invers perkalian. Dalam ring dengan identitas perkalian
(yang disebut ring dengan identitas), elemen nol grup tidak memiliki invers perkalian.
c. Distributif: Ring memenuhi sifat distributif, artinya perkalian di distribusikan atas
penjumlahan. Artinya, untuk semua elemen , , dan dalam ring, berlaku ∗ ( +
) = ( ∗ ) + ( ∗ ) . Grup tidak memiliki operasi perkalian, sehingga sifat
distributif tidak berlaku untuk grup.
Jadi, dapat disimpulkan bahwa setiap ring tidak selalu merupakan grup, karena mereka
adalah struktur yang berbeda dengan sifat yang berbeda pula.
2. (B) Setiap grup abelian adalah ring.
Alasan:
Sebuah grup abelian adalah grup dengan operasi biner yang memenuhi sifat komutatif,
yaitu untuk setiap elemen dan dalam grup, berlaku ∗ = ∗ .
Untuk mengubah grup abelian menjadi ring, kita perlu mendefinisikan operasi perkalian
yang memenuhi sifat distributif terhadap operasi penjumlahan di grup. Kita dapat
menggunakan operasi penjumlahan grup sebagai operasi penjumlahan di ring.
Misalkan G adalah grup abelian dengan operasi penjumlahan grup yang dinotasikan
sebagai “+” dan elemen identitasnya adalah nol grup, dan kita ingin mendefinisikan
operasi perkalian di ring R.
Operasi perkalian di ring R dapat didefinisikan sebagai perkalian skalar, di mana setiap
elemen dalam grup abelian G dikalikan dengan skalar dalam ring R. Dalam hal ini, kita
