Page 4 - Tugas M11 SA - Nurul Izzah Annisa
P. 4
tetapi menjadi grup terhadap operasi perkaliannya, dengan elemen identitas 1 dan setiap
elemen memiliki invers perkalian.
5. (B) Setiap ring dengan elemen satuan mempunyai paling sedikit dua unit.
Alasan:
Setiap ring dengan elemen satuan memiliki setidaknya dua unit. Dalam konteks aljabar
abstrak, unit dalam ring disebut juga dengan elemen satuan atau elemen invers-kanan.
Dalam ring R, elemen satuan adalah elemen 1 yang memenuhi sifat 1 ⋅ = ⋅ 1 =
untuk setiap elemen dalam R. Jika u adalah elemen satuan dalam ring R, maka u adalah
unit atau elemen invers-kanan, karena ada elemen v dalam R sehingga ⋅ = ⋅ = 1.
Jika sebuah ring R memiliki elemen satuan, misalnya 1, maka ada setidaknya dua unit
dalam ring tersebut, yaitu 1 dan , di mana adalah elemen invers-kanan dari 1. Karena
1 ⋅ = ⋅ 1 = 1, maka juga merupakan elemen satuan dalam R.
Jadi, setiap ring dengan elemen satuan memiliki paling sedikit dua unit.
6. (S) Setiap ring dengan elemen satuan mempunyai paling banyak dua unit.
Alasan:
Dalam sebuah ring dengan elemen satuan, mungkin memiliki lebih dari dua unit.
Misalnya, dalam ring bilangan bulat ℤ, elemen satuan adalah 1 dan −1, yang keduanya
merupakan unit karena 1 ⋅ 1 = 1 dan (−1) ⋅ (−1) = 1.
Namun, ada beberapa ring di mana hanya terdapat dua unit. Misalnya, dalam ring
bilangan kompleks ℂ, elemen satuan adalah 1 dan -1, dan keduanya juga merupakan unit
karena 1 ⋅ 1 = 1 dan (−1) ⋅ (−1) = 1. Dalam kasus ini, ℂ adalah ring dengan dua unit.
Namun, terdapat ring lain yang memiliki lebih dari dua unit. Misalnya, dalam ring
matriks 2 × 2 dengan koefisien real, terdapat banyak elemen satuan. Misalnya, matriks
−1 0
identitas I adalah elemen satuan, dan juga matriks ( ) merupakan unit lainnya,
0 −1
karena kedua matriks tersebut memiliki invers matriks dalam ring tersebut.
Jadi, tidak benar bahwa setiap ring dengan elemen satuan memiliki paling banyak dua
unit. Ada ring yang memiliki lebih dari dua unit, tergantung pada struktur dan sifat-sifat
ring tersebut.
7. (B) Setiap ring dengan elemen satuan paling kurang mempunyai dua unit.
Alasan:
