Page 5 - Tugas M11 SA - Nurul Izzah Annisa

Setiap ring dengan elemen satuan memiliki setidaknya dua unit. Dalam konteks ring

denga elemen satuan adalah elemen 1 yang memenuhi sifat 1 ⋅ = ⋅ 1 = untuk setiap
elemen dalam R. Jika u adalah elemen satuan dalam ring R, maka u adalah unit atau

elemen invers-kanan, karena ada elemen v dalam R sehingga ⋅ = ⋅ = 1.

Jika sebuah ring R memiliki elemen satuan, misalnya 1, maka ada setidaknya dua unit
dalam ring tersebut, yaitu 1 dan , di mana adalah elemen invers-kanan dari 1. Karena

1 ⋅ = ⋅ 1 = 1, maka juga merupakan elemen satuan dalam R.

Jadi, setiap ring dengan elemen satuan paling kurang memiliki dua unit.

8. (S) Setiap subgrup dari suatu ring mempunyai subring.

Alasan:
Tidak setiap subgrup dari sebuah ring akan menjadi subring atau supring. Alasan

utamanya adalah bahwa struktur aljabar dari grup dan ring berbeda.

Sebagai contoh, pertimbangkan ring bilangan bulat ℤ dengan operasi penjumlahan dan
perkalian. Jika kita mengambil subgrup dari ℤ yang terdiri dari bilangan genap 2ℤ, yaitu

kelipatan 2, maka subgrup ini bukanlah sebuah subring. Alasannya adalah bahwa subgrup

ini tidak menutup terhadap operasi perkalian. Misalnya, 2 dan 3 adalah anggota dari 2ℤ,
tetapi hasil perkalian 2 ⋅ 3 = 6 tidak termasuk dalam 2ℤ. Oleh karena itu, 2ℤ bukanlah

sebuah subring dari 2ℤ.

Dalam rangka menjadi subring, subgrup harus memenuhi sifat-sifat tambahan seperti
menutup terhadap operasi perkalian. Selain itu, subring juga harus mempertahankan

struktur aljabar ring, termasuk memiliki elemen identitas dan invers perkalian. Dengan
demikian, tidak semua subgrup dari sebuah ring akan menjadi supring.

9. (B) Adalah mungkin bahwa subhimpunan dari suatu field merupakan subring tapi bukan

subfield.
Alasan:

Sebuah field adalah suatu struktur aljabar yang memenuhi semua sifat-sifat ring, serta

memiliki invers perkalian untuk setiap elemen non-nol. Jadi, subfield harus
mempertahankan semua sifat tersebut.

Namun, subring hanya perlu mempertahankan sifat-sifat ring, termasuk penutupan
terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, serta memiliki elemen identitas penjumlahan

dan invers penjumlahan. Subring tidak perlu memenuhi persyaratan invers perkalian yang
diperlukan untuk menjadi field.