Page 6 - Tugas M11 SA - Nurul Izzah Annisa

Sebagai contoh, pertimbangkan field bilangan real ℝ. Jika kita mengambil subring ℤ

(bilangan bulat) dari ℝ, maka ℤ adalah subring yang memenuhi semua sifat-sifat ring.
Namun, karena ℤ tidak memiliki invers perkalian untuk setiap elemen non-nol, ℤ

bukanlah subfield dari ℝ.

Dengan demikian, contoh ini menunjukkan bahwa sub himpunan ℤ adalah subring dari
field ℝ, tetapi bukan subfield.

10. (S) Ring ℤ merupakan field untuk setiap .

Alasan:
Ring ℤ (juga dikenal sebagai ring residu modulo n) bukanlah field untuk setiap n. Ring

ℤ terdiri dari himpunan bilangan bulat *0, 1, 2, … , − 1+ dengan operasi penjumlahan

dan perkalian modulo n. Operasi penjumlahan dan perkalian pada ℤ adalah penjumlahan

dan perkalian modulo n.

Untuk ℤ menjadi field, setiap elemen non-nol di ℤ harus memiliki invers perkalian.

Dalam hal ini, invers perkalian dari suatu elemen adalah elemen di ℤ sehingga

≡ 1( ). Namun, tidak semua elemen non-nol di ℤ memiliki invers perkalian.

Contoh sederhana adalah ketika bukanlah bilangan prima. Misalnya, jika kita
pertimbangkan ℤ , himpunan tersebut terdiri dari *0, 1, 2, 3, 4, 5+ dengan operasi
6
penjumlahan dan perkalian modulo 6. Dalam ℤ , elemen 2 dan 3 adalah non-nol, tetapi
6
mereka tidak memiliki invers perkalian dalam ℤ . Sebagai contoh, 2 ⋅ 3 ≡ 0 ( 6),
6
sehingga tidak ada elemen di ℤ yang memenuhi 2 ≡ 1 ( 6) atau 3 ≡
6
1( 6). Jadi, ℤ bukanlah field untuk setiap . ℤ hanya menjadi field jika adalah

bilangan prima.

11. Hitunglah hasilkali berikut pada ring yang diberikan.
a. (12)(16) di dalam
24
b. (11)(-4) di dalam
15
c. (16)(3) di dalam
32
d. (20)(-8) di dalam
26
Jawab:
a) (12)(16) di dalam
24
Untuk menghitung hasil kali (12)(16) dalam ℤ , kita perlu menggunakan operasi
24
modulo 24 setelah melakukan perkalian.

Pertama, kita hitung hasil perkalian 12 dan 16: 12 × 16 = 192