Page 18 - E-modul Fisika Matematika Materi Kalkulus Variasi_Neat

Dalam kasus khusus ini, fungsi ( ) mewakili gaya konservatif,

sedangkan ( ) dinamakan sebagai fungsi potensial.

Kembali pada persamaan umum (33), untuk sistem yang melibatkan gaya

yang bersifat konservatif, hukum kedua Newton dapat dituliskan sebagai:

− ( ) = ( , , ) (37)

̇
̇

Dengan = − ( ) merupakan gaya umum non-konsevatif yang
̇

terkait.

Misalkan jumlah koordinat umum yang terdefinisi dalam Lagrangian

terkait lebih dari satu sehingga ≡ ( , , … , , , ̇ , … , ̇ , ), maka
̇
2

1

1
2
berlaku untuk masing-masing koordinat umum , :
̇

− ( ) = 0 (38)
̇
Sebagai contoh pertama, tinjau sistem sederhana yang terdiri atas sebuah
1
partikel bermassa m dengan energi kinetik = , yang berada pada pengaruh
2
̇
2
1
2
gaya pegas dengan fungsi potensial diberikan oleh = . Jelas bahwa
2
Lagrangian terkait diberikan oleh:

1
1
2
= − (39)
2
̇
2 2
Substitusikan persamaan (39) ke dalam persamaan Euler-Lagrange (32)
dengan koordinat umum = dan = , sehingga diperoleh − − = 0
̈
̇
̇
atau

= (40)
̈
yang tidak lain merupakan persamaan gerak Newton bagi sistem partikel

dengan pegas.

15