Page 14 - E-modul Fisika Matematika Materi Kalkulus Variasi_Neat

terdapat dua buah variabel lintasan yang membentuk sebuah bidang, sebut saja

( ) dan ( ), dengan turunan masingmasing diberikan oleh ( ) dan ( ).
̇
̇
Kemudian definiskan sebuah fungsional terkait sebagai berikut:

= ∫ [ , , , , ] (18)
2
̇
̇
1
Misalkan untuk transformasi bagi lintasan diberikan oleh:

( ) → ( ) + ( ) (19a)

( ) → ( ) + ̇ ( ) (19b)
̇
̇

Di lain pihak, untuk lintasan :

( ) → ( ) + ( ) (20a)

( ) → ( ) + ̇ ( ) (20b)
̇
̇

dengan { } merupakan parameter variasi untuk lintasan { } sedangkan

{ } adalah fungsi terkaitnya. Selanjutnya kita lakukan kembali variasi terhadap

fungsional tersebut sehingga memenuhi kondisi:

= ( )| + ( )| (23)

=0 =0
̇ ̇
Dimana ⁄ = , ⁄ = dan ⁄ = , ⁄ = ̇ .
̇

Kembali dengan menggunakan integral perbagian diperoleh:
2
̇
∫ ( η ̇ ) = η ̇ Ω | 2 − ∫ 2 ( ) η
Ω
Ω
1 Ω ̇ Ω ̇ 1 1 Ω ̇
= − ∫ 2 ( )η (24)
̇
1 Ω ̇ Ω
Dengan Ω = atau . Dengan demikian diperoleh:

2
= ∫ {[ − ( )] + [ + ( )] } = 0 (25)
1 ̇ z ̇
Dan jelas bahwa:

11