Page 10 - E-modul Fisika Matematika Materi Kalkulus Variasi_Neat

Kemudian tinjau kedua dalam kurung siku bagian kanan persamaan (10),

dengan memanfaatkan integral perbagian diperoleh:

2 ̇ 2 2
∫ = | − ∫ ( ) (11)
1 ̇ ̇ 1 ̇
1
Meningat di titik-titik ujung ( ) = ( ) = 0, maka integral (10)
1
2
tereduksi menjadi:

∫ 2 = − ∫ 2 ( ) (12)
̇
1 ̇ 1 ̇
Sehingga dengan demikian diperoleh untuk persamaan (10) sebagai

berikut:

2
= {∫ [ − ( )] } (13)
1 ̇
Karena secara umum ≠ 0 dan sebarang, maka kondisi yang harus

dipenuhi agar variasi berharga nol adalah:

− ( ) = 0 (14)

̇

Persamaan (14) dinamakan persamaan Euler yang menyatakan bahwa

keadaan stasioner fungsional hanya dapat dicapai jika fungsi F memenuhi

persamaan tersebut.

Penurunan persamaan (14) dengan menggunakan simbol variasi adalah

sebagai berikut:

2
= ∫
1
2
̇
= ∫ ( + ) (15)
1 ̇
Serupa dengan persamaan integral (11), dibagian kedua dari ruas kanan

persamaan (15) dapat dinyatakan sebagai berikut:

2
2
∫ ( ) = ∫ 1 ( )
̇
1
̇ ̇

7