Page 11 - E-modul Fisika Matematika Materi Kalkulus Variasi_Neat

2
= ∫ 1 ( )

̇
2 2
= | − ∫ ( ) (16)
̇ 1 ̇
1
2
= − ∫ ( )
1 ̇
Dimana telah digunakan syarat variasi = 0 di = dan . Dengan
2
1
demikian diperoleh kembali bentuk:

2
= ∫ [ − ( )] = 0 (17)
1 ̇
Dan jelas bahwa suku di dalam kurung siku integral di atas adalah

persamaan Euler (14).

Perlu menjadi catatan penting bahwa semua problem dalam kalkulus

variasi, pada prinsipnya dapat dipecahkan dengan mencari fungsional , kemudian

mencari keadaan stationernya dengan mensubstitusikan fungsi F terkait pada

persamaan Euler untuk selanjutnya dicari lintasan yang dimaksud.

Contoh 2.1. Misalkan sebuah partikel bergerak pada suatu bidang datar

(x,y). Untuk menentukan jarak terdekat yang dapat ditempuh antara dua titik =
1
( , ) dan = ( , ) pada bidang tersebut definisikan terlebih dahulu
2
1
1
2
2
panjang infinitesimal dari suatu kurva sebarang tersebut: = √ + .
2
2
Selanjutnya bentuk fungsional bagi persoalan terkait yakni = ∫ , yang dapat
2
1
2
2
direduksi menjadi bentuk = ∫ √1 + .
̇
1
̇
Jelas dari sini kita memiliki fungsi ( , , ) = . Masuk ke dalam
̇
persamaan Euler terkait:

− ( ) = 0 (i)
̇

8