Page 16 - E-modul Fisika Matematika Materi Kalkulus Variasi_Neat

Persamaan diatas memilki peranan penting dalam penerapannya dalam

mekanika. Dalam fisika dasar, hukum Newton II, F = ma, adalah persamaan

fundamental. Dalam mekanika lanjut, sering digunakan asumsi yang berbeda

yang sering disebut Prinsip Hamilton. Asumsi ini menyatakan bahwa setiap

partikel atau sistem partikel selalu bergerak dalam suatu cara yang mana = ∫

2 1 stasioner, di mana = − disebut Lagrangian, T adalah energy

kinetic, dan V adalah energy potensial dari partikel atau system (Boas).

2.2.6 Penerapan dalam Fisika

Telah ketahui secara baik bahwa hukum kedua Newton merupakan suatu

rumusan empirik yang diperoleh berdasarkan pengalaman sehari-hari. Pertanyaan

yang kemudian timbul adalah apakah ada prinsip yang lebih fundamental, yang

mampu menjelaskan asal dari hukum tersebut. Hingga saat ini, secara fisis

memang belum diketahui prinsip apakah yang mendasarinya. Tetapi dipihak lain,

secara matematis, cara mengenai bagaimana bentuk persamaan diferensial hukum

kedua tersebut diperoleh telah diketahui dengan memanfaatkan kaidah kalkulus

variasi dan dikenal sebagai prinsip Hamilton, sebagaimana telah disinggung

sepintas pada bagian pendahuluan.

Misalkan untuk sebuah partikel yang berada pada pengaruh gaya memiliki

energi kinetik ≡ ( , , ), sedangkan gaya yang berpengaruh tersebut dapat
̇
diwakili oleh fungsi ≡ ( , , ), maka dapat dibentuk sebuah fungsi yang
̇

dinamakan fungsi Lagrange atau Lagrangian yang didefiisikan sebagai

( , , ) ≡ ( , , ) − ( , , ) (29)
̇
̇
̇
Dimana ≡ ( ) dan ≡ ( ) merupakan koordinat umum. Selajutnya
̇
̇
dapat pula dibangun sebuag fungsional yang terkait dengan fungsi Lagrange:

13